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Topos Uranos
Português

A representação decimal dos números racionais

Resumo

Esta aula estuda a escrita decimal dos números racionais. Mostra que os algarismos de um quociente nascem dos restos da divisão longa, define o valor de uma representação decimal infinita por meio de intervalos encaixados e da propriedade arquimediana, e demonstra os três teoremas que a caracterizam: uma fração irredutível tem representação finita se e somente se seu denominador não tem outros fatores primos além de 22 e 55; a representação de todo racional é finita ou periódica, com um período de comprimento menor que o denominador; e, reciprocamente, toda representação periódica representa um racional, cuja fração geratriz se obtém com a soma de uma progressão geométrica. Disso decorrem a igualdade entre 0,999… e 11, a caracterização dos irracionais por suas representações não periódicas e, por fim, a notação científica, os algarismos significativos e a cota do erro que o arredondamento comete.

Objetivos de aprendizagem

  1. Obter a representação decimal de uma fração por meio da divisão longa e justificar, com os restos, por que cada algarismo está entre 00 e 99 e por que a representação aproxima a fração.
  2. Decidir, a partir da fatoração do denominador, se uma fração tem representação finita ou periódica, e limitar o comprimento de seu período.
  3. Encontrar a fração geratriz de uma representação periódica e justificar com rigor igualdades como a de 0,999… com 11.
  4. Escrever números em notação científica, arredondá-los a um número dado de algarismos significativos e limitar os erros absoluto e relativo que se cometem.

A divisão longa e os algarismos decimais

Na aula sobre os números racionais estudaram-se as frações e suas operações; na aula sobre os sistemas de numeração posicional, a escrita dos naturais com algarismos. A representação decimal reúne as duas coisas: estende a notação posicional à direita da vírgula, com potências negativas de 1010. Assim, o número que se escreve 0,375 é, por definição, uma soma de décimos, centésimos e milésimos:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

Em geral, uma representação decimal finita consta de uma parte inteira NN e de um número finito de algarismos c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, cada um entre 00 e 99, e representa o número seguinte:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Como o sinal de um racional se escreve à parte, basta estudar os racionais positivos. Para encontrar a representação de uma fração pq\frac{p}{q} de naturais usa-se a divisão longa, que não é outra coisa senão a divisão com resto repetida: primeiro divide-se pp por qq, o que dá a parte inteira NN e um resto r0r_0; depois, em cada passo, multiplica-se por 1010 o último resto e divide-se o resultado por qq. O quociente dessa divisão é o algarismo seguinte, e seu resto alimenta o passo que se segue:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
ExemploA divisão longa de 3 por 7

Calculamos os algarismos de 37\frac{3}{7}. Em cada passo escrevem-se o dividendo, que é dez vezes o resto anterior, o algarismo que se obtém e o novo resto. A figura mostra a escada de divisões e, em cima, os algarismos que se acumulam.

Demonstração

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Como 3<73 < 7, a parte inteira é 00 e o primeiro resto é o próprio numerador, r0=3r_0 = 3. Multiplicamos o resto por 1010 e dividimos por 77: o algarismo dos décimos é 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    Com o resto 22 obtém-se o algarismo dos centésimos.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    Com o resto 66, o dos milésimos.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    Com o resto 44, o quarto algarismo.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    Com o resto 55, o quinto.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    Com o resto 11, o sexto; e o novo resto é 33, o mesmo com que se começou.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    Daqui em diante a divisão se repete passo a passo: o que resta dividir, 37\frac{3}{7} multiplicado por 1106\frac{1}{10^6}, é o mesmo quociente deslocado seis casas. Os algarismos formam um bloco que se repete sem fim.

A representação de 37\frac{3}{7} é, portanto, 0,428571428571…, com período 428571. O exemplo contém em germe toda a aula: os algarismos saem dos restos, os restos são menores que o divisor e, assim que um se repete, repete-se tudo o que vem depois. O primeiro fato que convém assegurar é que os algarismos assim obtidos são verdadeiros algarismos e que aproximam a fração tanto quanto se queira.

LemaOs algarismos da divisão longa

Sejam pp e qq naturais, e sejam NN, r0r_0 e, para cada natural kk, ckc_k e rkr_k os números que a divisão longa de pp por qq fornece. Então cada ckc_k é um algarismo, entre 00 e 99, e para todo natural nn vale a igualdade seguinte, na qual a última parcela é não negativa e menor que 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

A demonstração procede por indução sobre nn. A figura acompanha o argumento com 37\frac{3}{7}: cada novo algarismo escolhe uma das dez partes do intervalo anterior, que se amplia para vê-la.

Demonstração

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Cada ckc_k é um algarismo: como o resto anterior é menor que qq, o dividendo 10rk−110 r_{k - 1} é menor que 10q10q, e o quociente é menor que 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    Para n=0n = 0, sem algarismos, a igualdade é a primeira divisão com resto, dividida por qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Passo indutivo: a última parcela se reescreve com a divisão seguinte, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, e se separa em duas frações.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    Substituindo na igualdade de ordem nn obtém-se a de ordem n+1n + 1; por indução, a igualdade vale para todo nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Como 0≤rn<q0 \le r_n < q, a última parcela é não negativa e menor que 110n\frac{1}{10^n}: a fração dista menos de 110n\frac{1}{10^n} de seu truncamento de ordem nn, o número TnT_n formado pela parte inteira e pelos nn primeiros algarismos.

O lema diz que pq\frac{p}{q} está no intervalo que começa em TnT_n e tem comprimento 110n\frac{1}{10^n}, incluída a extremidade esquerda e excluída a direita; esses intervalos, que serão estudados em detalhe na aula sobre a reta real, escrevem-se assim:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}