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Topos Uranos
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La rappresentazione decimale dei numeri razionali

Riepilogo

Questa lezione studia la scrittura decimale dei numeri razionali. Mostra che le cifre di un quoziente nascono dai resti della divisione in colonna, definisce il valore di una rappresentazione decimale infinita mediante intervalli incapsulati e la proprietà archimedea, e dimostra i tre teoremi che la caratterizzano: una frazione irriducibile ha rappresentazione finita se e solo se il suo denominatore non ha fattori primi diversi da 22 e 55; la rappresentazione di ogni razionale è finita o periodica, con un periodo di lunghezza minore del denominatore; e, viceversa, ogni rappresentazione periodica rappresenta un razionale, la cui frazione generatrice si ottiene con la somma di una progressione geometrica. Ne seguono l’uguaglianza tra 0,999… e 11, la caratterizzazione degli irrazionali mediante le loro rappresentazioni non periodiche e, infine, la notazione scientifica, le cifre significative e la maggiorazione dell’errore che commette l’arrotondamento.

Obiettivi di apprendimento

  1. Ottenere la rappresentazione decimale di una frazione mediante la divisione in colonna e giustificare, con i resti, perché ogni cifra è compresa tra 00 e 99 e perché la rappresentazione approssima la frazione.
  2. Decidere, a partire dalla fattorizzazione del denominatore, se una frazione ha rappresentazione finita o periodica, e maggiorare la lunghezza del suo periodo.
  3. Trovare la frazione generatrice di una rappresentazione periodica e giustificare con rigore uguaglianze come quella di 0,999… con 11.
  4. Scrivere numeri in notazione scientifica, arrotondarli a un numero dato di cifre significative e maggiorare gli errori assoluto e relativo che si commettono.

La divisione in colonna e le cifre decimali

Nella lezione sui numeri razionali si sono studiate le frazioni e le loro operazioni; nella lezione sui sistemi di numerazione posizionale, la scrittura dei naturali con le cifre. La rappresentazione decimale riunisce le due cose: estende la notazione posizionale a destra della virgola, con potenze negative di 1010. Così il numero che si scrive 0,375 è, per definizione, una somma di decimi, centesimi e millesimi:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

In generale, una rappresentazione decimale finita consta di una parte intera NN e di un numero finito di cifre c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n, ciascuna compresa tra 00 e 99, e rappresenta il numero seguente:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

Poiché il segno di un razionale si scrive a parte, basta studiare i razionali positivi. Per trovare la rappresentazione di una frazione pq\frac{p}{q} di naturali si usa la divisione in colonna, che non è altro che la divisione con resto ripetuta: prima si divide pp per qq, il che dà la parte intera NN e un resto r0r_0; poi, a ogni passo, si moltiplica per 1010 l’ultimo resto e lo si divide per qq. Il quoziente di tale divisione è la cifra successiva, e il suo resto alimenta il passo che segue:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
EsempioLa divisione in colonna di 3 per 7

Calcoliamo le cifre di 37\frac{3}{7}. A ogni passo si scrivono il dividendo, che è dieci volte il resto precedente, la cifra che si ottiene e il nuovo resto. La figura mostra la scala delle divisioni e, in alto, le cifre che si accumulano.

Dimostrazione

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    Poiché 3<73 < 7, la parte intera è 00 e il primo resto è il numeratore stesso, r0=3r_0 = 3. Moltiplichiamo il resto per 1010 e dividiamo per 77: la cifra dei decimi è 44.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    Con il resto 22 si ottiene la cifra dei centesimi.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    Con il resto 66, quella dei millesimi.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    Con il resto 44, la quarta cifra.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    Con il resto 55, la quinta.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    Con il resto 11, la sesta; e il nuovo resto è 33, lo stesso con cui si è cominciato.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    Da qui in poi la divisione si ripete passo per passo: ciò che resta da dividere, 37\frac{3}{7} moltiplicato per 1106\frac{1}{10^6}, è lo stesso quoziente spostato di sei posti. Le cifre formano un blocco che si ripete senza fine.

La rappresentazione di 37\frac{3}{7} è, quindi, 0,428571428571…, con periodo 428571. L’esempio contiene in germe tutta la lezione: le cifre nascono dai resti, i resti sono minori del divisore e, appena uno si ripete, si ripete tutto ciò che segue. Il primo fatto che conviene stabilire è che le cifre così ottenute sono vere cifre e che approssimano la frazione quanto si vuole.

LemmaLe cifre della divisione in colonna

Siano pp e qq naturali, e siano NN, r0r_0 e, per ogni naturale kk, ckc_k e rkr_k i numeri che dà la divisione in colonna di pp per qq. Allora ogni ckc_k è una cifra, compresa tra 00 e 99, e per ogni naturale nn vale l’uguaglianza seguente, nella quale l’ultimo addendo è non negativo e minore di 110n\frac{1}{10^n}.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

La dimostrazione procede per induzione su nn. La figura accompagna l’argomento con 37\frac{3}{7}: ogni nuova cifra sceglie una delle dieci parti dell’intervallo precedente, che viene ingrandito per vederla.

Dimostrazione

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    Ogni ckc_k è una cifra: poiché il resto precedente è minore di qq, il dividendo 10rk−110 r_{k - 1} è minore di 10q10q, e il quoziente è minore di 1010.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    Per n=0n = 0, senza cifre, l’uguaglianza è la prima divisione con resto, divisa per qq.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    Passo induttivo: l’ultimo addendo si riscrive con la divisione successiva, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, e si separa in due frazioni.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    Sostituendo nell’uguaglianza di ordine nn si ottiene quella di ordine n+1n + 1; per induzione, l’uguaglianza vale per ogni nn.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    Poiché 0≤rn<q0 \le r_n < q, l’ultimo addendo è non negativo e minore di 110n\frac{1}{10^n}: la frazione dista meno di 110n\frac{1}{10^n} dal suo troncamento di ordine nn, il numero TnT_n formato dalla parte intera e dalle prime nn cifre.

Il lemma dice che pq\frac{p}{q} sta nell’intervallo che comincia in TnT_n e ha lunghezza 110n\frac{1}{10^n}, compreso l’estremo sinistro ed escluso il destro; questi intervalli, che si studieranno in dettaglio nella lezione sulla retta reale, si scrivono così:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}