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Topos Uranos
Français

Fonctions avec radicaux : ensemble de définition, signe, courbe

Résumé

Cette leçon étend aux fonctions avec radicaux la méthode des tableaux de signes et de la division des polynômes : elle détermine leur ensemble de définition lorsqu’il y a des racines au numérateur et au dénominateur, étudie leur signe et leur comportement aux bornes de l’ensemble de définition, où la courbe s’arrête en un point ou s’approche d’une asymptote verticale, et trouve leurs asymptotes pour les grandes valeurs de la variable en sortant de chaque racine la plus haute puissance de xx, en distinguant les cas xx strictement positif et xx strictement négatif. Elle se termine par l’ensemble image, que l’on détermine exactement lorsque les limites aux bornes le permettent, et par l’étude complète de fonctions dont le radicande est un trinôme de degré 88.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction avec radicaux au numérateur et au dénominateur au moyen de tableaux de signes et de la factorisation de trinômes de degré 2n2n.
  2. Étudier le signe d’une fonction avec radicaux et son comportement aux bornes de l’ensemble de définition, en distinguant les extrémités où la courbe s’arrête des asymptotes verticales.
  3. Trouver les asymptotes d’une fonction avec radicaux lorsque xx tend vers ∞\infty et vers −∞-\infty, en traitant séparément les valeurs positives et négatives de la variable.
  4. Tracer la courbe représentative d’une fonction avec radicaux et déterminer son ensemble image lorsque l’étude le permet, en reconnaissant les cas qui exigent les techniques du calcul différentiel.
  5. Étudier des fonctions avec radicaux qui décrivent des grandeurs appliquées, comme la différence des distances à deux antennes ou le facteur de Lorentz de la relativité, et interpréter dans le contexte leur ensemble de définition, leurs asymptotes et leur ensemble image.

L’ensemble de définition d’une fonction avec radicaux

Dans la leçon sur les fonctions algébriques, on a établi les règles qui fixent l’ensemble de définition d’une fonction définie par une formule : aucun dénominateur ne peut valoir zéro, et le radicande d’une racine d’indice pair ne peut pas être strictement négatif. Lorsque la racine est dans un dénominateur, les deux règles agissent à la fois, et son radicande doit être strictement positif ; lorsqu’elle est au numérateur, il suffit qu’il soit positif ou nul. Les racines d’indice impair n’imposent aucune condition, sauf celle de ne pas s’annuler si elles sont dans un dénominateur.

Si les radicandes sont des polynômes de degré supérieur à 11, chaque condition est une inéquation polynomiale, que l’on résout en factorisant et en construisant un tableau de signes, comme dans la leçon sur les tableaux de signes et les inéquations. Les facteurs du second degré s’obtiennent avec la formule du second degré, et les trinômes de la forme ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c se ramènent au second degré par le changement de variable u=xnu = x^n, comme dans la leçon sur la factorisation du trinôme du second degré. Un facteur du second degré de discriminant strictement négatif garde toujours le signe de son coefficient dominant, de sorte qu’il n’apporte aucune valeur critique et peut être retiré du tableau.

L’ensemble de définition d’une fonction avec radicaux s’obtient en réunissant toutes les conditions à la fois : radicande positif ou nul pour chaque racine d’indice pair du numérateur, radicande strictement positif pour chaque racine d’indice pair d’un dénominateur, et dénominateurs différents de zéro. Chaque condition se résout avec un tableau de signes, et l’ensemble de définition est l’intersection des ensembles obtenus.