Fonctions algébriques et polynômes : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les fonctions algébriques et les polynômes. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce qui a été démontré dans ses neuf leçons, depuis le concept de fonction et la division euclidienne des polynômes jusqu’à l’étude complète des fonctions rationnelles et des fonctions avec radicaux ; elle montre comment l’unité s’appuie sur les entiers naturels et sur les ensembles de nombres des unités précédentes, signale avec honnêteté les résultats qui ont été admis sans démonstration et explique comment elle se relie à la géométrie analytique du plan. Elle se termine par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes proposés de l’unité, qui exigent de combiner plusieurs leçons et de trouver une idée.

Objectifs d’apprentissage

Reconstruire la chaîne des définitions et des théorèmes de l’unité, en expliquant quel résultat s’appuie sur quel autre.
Mettre en relation les théorèmes sur les polynômes avec leurs analogues sur les nombres entiers étudiés dans les unités précédentes.
Distinguer les résultats démontrés dans l’unité de ceux qui ont été admis et seront démontrés dans d’autres cours.
Résoudre des problèmes qui combinent plusieurs leçons de l’unité et exigent une idée non mécanique, parmi lesquels la mise en équation d’une situation concrète au moyen de polynômes.

L’acquis de l’unité

Les fonctions et leurs opérations

L’unité a commencé par le concept de fonction : une règle qui associe à chaque élément de l’ensemble de définition exactement une image. Dans la leçon sur les fonctions algébriques ont été fixées les règles qui déterminent l’ensemble de définition d’une formule, a été démontré le lemme du signe d’un produit, base de toute l’étude ultérieure des signes, et les fonctions ont été classées en fonctions polynômes, rationnelles, irrationnelles et transcendantes ; que la classification, qui porte sur les fonctions et non sur leurs formules, n’est pas vide, c’est ce qu’a montré la démonstration du fait que $\frac{1}{x}$ ne coïncide avec aucun polynôme, et la leçon sur l’algèbre des polynômes a démontré ensuite que $\sqrt{x}$ n’est pas une fonction rationnelle. La leçon sur les opérations sur les fonctions a traité les fonctions réelles comme des objets. De la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions de la première unité, elle a hérité l’associativité de la composition et le théorème selon lequel une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est bijective ; elle y a ajouté ce qui est propre aux fonctions réelles : l’ensemble de définition d’une composée, avec lequel la composition reste associative mais non commutative ; le fait qu’une fonction strictement monotone est une bijection sur son ensemble image et admet une réciproque monotone, ce qui permet d’inverser par restriction les fonctions qui ne sont pas injectives ; le fait que la courbe représentative de la réciproque est la symétrique par rapport à la droite $y = x$ ; et le fait que toute fonction dont l’ensemble de définition est symétrique est, d’une seule manière, la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Les polynômes et leur factorisation

Le cœur de l’unité est la théorie des polynômes, qui se développe comme une chaîne de théorèmes, chacun appuyé sur le précédent.

La division euclidienne des polynômes, démontrée dans la leçon sur l’algèbre des polynômes, donne un quotient et un reste uniques. Avec le diviseur $x - r$ , le reste est $P(r)$ (théorème du reste), d’où le théorème du facteur : $r$ est racine si et seulement si $x - r$ divise $P$ .
Appliqué à plusieurs racines, le théorème du facteur donne le lemme des racines distinctes : un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines. On en déduit le principe d’identification : deux polynômes définissent la même fonction si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients. Comme jusque-là les polynômes avaient été traités au moyen de leurs coefficients, l’ordre n’est pas circulaire ; et dès lors chaque polynôme s’identifie à sa fonction, on peut comparer des coefficients, deux polynômes qui coïncident en une infinité de points sont égaux et l’on démontre que la racine carrée n’est pas une fonction rationnelle.
Pour trouver les racines, la leçon sur la factorisation du trinôme du second degré a complété le carré et obtenu la formule du second degré, le discriminant et les relations de Viète ; la leçon sur les racines des polynômes de degré supérieur a ajouté la division synthétique, le théorème des racines rationnelles, la multiplicité et les bornes des racines.
Une fois admis le théorème fondamental de l’algèbre, et avec le théorème des racines conjuguées, a été démontrée la factorisation sur les réels : tout polynôme réel est le produit de son coefficient dominant par des facteurs $x - r$ et par des facteurs du second degré irréductibles.

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

Du quotient à la courbe

La factorisation en main, la seconde moitié de l’unité a étudié les quotients. La leçon sur les fractions rationnelles a montré que simplifier par un facteur commun n’est une égalité que sur l’ensemble de définition initial, a caractérisé l’égalité de deux fractions et a démontré l’existence et l’unicité de la décomposition en éléments simples lorsque le dénominateur n’a que des facteurs du premier degré : avec des facteurs distincts, les coefficients s’obtiennent en évaluant aux racines une identité qui, par le principe d’identification, vaut aussi là où les fractions ne sont pas définies ; avec des facteurs répétés, l’unicité exige d’isoler en chaque racine le terme de plus haute puissance. La leçon sur les tableaux de signes et les inéquations a étendu la règle des signes à $n$ facteurs et a lu dans la factorisation le signe d’un polynôme ou d’un quotient : le signe change en traversant une racine de multiplicité impaire, se conserve en une racine de multiplicité paire, et les facteurs irréductibles ne comptent pas. Il en a découlé la résolution d’inéquations et la recherche d’ensembles de définition, ainsi que la distinction entre asymptotes verticales et points de discontinuité évitables.

Les deux dernières leçons ont réuni tous les outils. Dans la leçon sur les fonctions rationnelles, la division écrit $\frac{P}{Q}$ comme un polynôme $C$ plus une fraction propre qui tend vers zéro, et $C$ est l’asymptote horizontale ou oblique, ou bien la courbe asymptote ; le tableau de signes décide dans quelle direction s’échappent les branches, et le discriminant de l’équation $y \cdot Q(x) = P(x)$ donne l’ensemble image lorsque cette équation est de degré $2$ . Dans la leçon sur les fonctions avec radicaux, l’égalité $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ oblige à traiter séparément les grandes valeurs positives et négatives de la variable, et une même fonction peut avoir deux asymptotes distinctes.

Ce qui a été admis

L’unité a été explicite sur ce qu’elle n’a pas démontré. A été admis le théorème fondamental de l’algèbre, dont les démonstrations exigent des outils de l’analyse. Les flèches des limites, avec lesquelles on décrit les asymptotes et le comportement d’une fonction au voisinage d’un point ou à l’infini, ont été employées avec un sens intuitif : ce qui a été démontré, c’est le signe de la fonction de chaque côté et la décomposition qui sépare l’asymptote, et ce qui a été décrit, c’est l’approche elle-même. Il a été admis que les fonctions rationnelles et les fonctions avec radicaux sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition, ainsi que, sous sa forme générale, le théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur un intervalle $\icc{a}{b}$ prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ , et en particulier s’annule si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, ce qui est le théorème de Bolzano ; grâce à lui, des zéros que l’algèbre n’atteint pas ont été localisés et des ensembles images ont été calculés. Ont été admises l’existence et l’unicité de la décomposition en éléments simples lorsqu’il y a des facteurs du second degré irréductibles, qui exigent l’identité de Bézout entre polynômes, ainsi que l’unicité de la factorisation sur les réels, dont dépend le fait que le plus petit commun multiple de plusieurs polynômes soit déterminé à un facteur constant près. Enfin, il a été admis que toute fonction définie par une expression algébrique satisfait une équation polynomiale en $x$ et $y$ , fait dont ne dépend aucun autre résultat. Et sont restés ouverts les maximums et les minimums qui ne se révèlent pas par une transformation algébrique. Les limites, la continuité, les valeurs intermédiaires, les extremums et l’intégration des éléments simples sont étudiés dans les cours Analyse I et Analyse II ; le théorème fondamental de l’algèbre, en revanche, se démontre dans un cours d’analyse complexe.

La figure suivante réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui. Tous sont admis ou proviennent des unités précédentes, et c’est pourquoi ils sont dessinés comme des anneaux : les résultats que l’unité démontre et réutilise, comme le lemme du signe d’un produit ou le théorème du facteur, figurent comme des maillons, reliés par des arcs à ceux qui les utilisent. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

ARécurrence. Une propriété qui est vérifiée dans un cas initial et qui passe de chaque cas au suivant, ou de tous les précédents au suivant, est toujours vérifiée ; démontré dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
BLemme d’Euclide. Si un nombre premier divise un produit d’entiers, il divise l’un des facteurs ; il s’ensuit que, si un entier divise un produit et est premier avec l’un des facteurs, il divise l’autre ; démontré dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
CComposition et réciproque. La composition des fonctions est associative et conserve l’injectivité, et une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est bijective, et cette réciproque est unique ; démontré dans la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions. Admis sans démonstration dans cette unité.
DRacines conjuguées. Si un nombre complexe est racine d’un polynôme à coefficients réels, son conjugué l’est aussi ; démontré dans l’unité sur les ensembles de nombres. Admis sans démonstration dans cette unité.
EThéorème fondamental de l’algèbre. Tout polynôme de degré $n \geq 1$ à coefficients complexes a au moins une racine complexe ; admis sans démonstration. Admis sans démonstration dans cette unité.
FBézout et unicité de la factorisation. Si deux polynômes n’ont pas de facteur commun de degré non nul, il existe des polynômes $U$ et $V$ tels que $U A + V B = 1$ ; et la factorisation d’un polynôme réel en facteurs du premier degré et en facteurs du second degré irréductibles est unique à l’ordre près ; ces deux faits sont admis, car le cours ne développe pas le plus grand commun diviseur de polynômes. Admis sans démonstration dans cette unité.
GLimites et continuité. Les flèches $x \to r$ et $f(x) \to \infty$ ont un sens intuitif, et les fonctions rationnelles et les fonctions avec radicaux sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition ; admis jusqu’au cours Analyse I. Admis sans démonstration dans cette unité.
HValeurs intermédiaires. Si une fonction est continue sur un intervalle $\icc{a}{b}$ , elle y prend toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ ; en particulier, si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, elle s’annule en un point de $\ioo{a}{b}$ (théorème de Bolzano) ; admis jusqu’au cours Analyse I. Admis sans démonstration dans cette unité.

Tronçon 1 Les fonctions et leurs opérations
- Définir la fonction et fixer les règles qui déterminent l’ensemble de définition d’une formule.
- Démontrer le lemme du signe d’un produit, base de l’étude ultérieure des signes.
- Classer les fonctions algébriques et démontrer que la classification n’est pas vide.
- Traiter les fonctions réelles comme des objets : ensemble de définition de la composée, réciproque par restriction à un ensemble sur lequel la fonction est monotone, courbe de la réciproque et décomposition en parties paire et impaire.
1. Fonction et ensemble de définition. Une fonction associe à chaque élément de son ensemble de définition exactement une image ; l’ensemble de définition d’une formule exclut les zéros des dénominateurs et les radicandes strictement négatifs des racines d’indice pair.
  Démontré dans: Fonctions algébriques d’une variable réelle.
2. Signe d’un produit. Pour des réels $a$ et $b$ , $ab = 0$ si et seulement si $a = 0$ ou $b = 0$ , et $ab > 0$ si et seulement si les deux sont non nuls et de même signe ; si $b \neq 0$ , le quotient $\frac{a}{b}$ a le signe de $ab$ .
  Démontré dans: Fonctions algébriques d’une variable réelle.
3. Un quotient qui n’est pas un polynôme. Aucune fonction polynôme ne coïncide avec $\frac{1}{x}$ en tous les réels non nuls ; d’où il existe des fonctions rationnelles qui ne sont pas des fonctions polynômes.
  Utilise: 1. Fonction et ensemble de définition. Démontré dans: Fonctions algébriques d’une variable réelle.
4. Courbes des puissances et des racines. Pour $n \geq 2$ , les fonctions $x^n$ et $\sqrt[n]{x}$ conservent l’ordre des réels positifs ou nuls, $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ si $0 < x < 1$ , et la puissance est paire ou impaire selon que $n$ l’est.
  Utilise: 1. Fonction et ensemble de définition. Démontré dans: Fonctions algébriques d’une variable réelle.
5. Ensemble de définition de la composée. Pour des fonctions réelles, l’ensemble de définition de $f \circ g$ est formé des $x$ de l’ensemble de définition de $g$ dont l’image appartient à l’ensemble de définition de $f$ ; avec ces ensembles de définition, la composition est associative, et elle n’est pas commutative.
  Utilise: 1. Fonction et ensemble de définition. Repose sur: C (Composition et réciproque). Démontré dans: Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations.
6. Fonctions monotones. Toute fonction strictement croissante ou strictement décroissante est injective, et la somme de deux fonctions croissantes est croissante.
  Utilise: 1. Fonction et ensemble de définition. Démontré dans: Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations.
7. Réciproque d’une fonction monotone. Une fonction strictement croissante sur un ensemble $A$ de réels est une bijection de $A$ sur son ensemble image, et sa réciproque est strictement croissante ; il en va de même pour les fonctions strictement décroissantes. On inverse ainsi, en restreignant l’ensemble de définition, les fonctions qui ne sont pas injectives.
  Utilise: 6. Fonctions monotones. Repose sur: C (Composition et réciproque). Démontré dans: Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations.
8. Courbe de la réciproque. Le point $(a, b)$ est sur la courbe de $f$ si et seulement si $(b, a)$ est sur celle de $f^{-1}$ ; d’où la courbe de la réciproque est la symétrique de celle de $f$ par rapport à la droite $y = x$ .
  Utilise: 7. Réciproque d’une fonction monotone. Repose sur: C (Composition et réciproque). Démontré dans: Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations.
9. Parties paire et impaire. Le produit de deux fonctions paires ou de deux fonctions impaires est pair, et celui d’une fonction paire et d’une fonction impaire est impair ; toute fonction dont l’ensemble de définition est symétrique est, d’une seule manière, la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
  Utilise: 1. Fonction et ensemble de définition. Démontré dans: Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations.
Tronçon 2 Les polynômes et leur factorisation
- Démontrer la division euclidienne des polynômes et en déduire les théorèmes du reste et du facteur.
- Majorer le nombre de racines d’un polynôme et obtenir le principe d’identification.
- Trouver les racines : formule du second degré, discriminant, relations de Viète, division synthétique, racines rationnelles, multiplicité et bornes.
- Démontrer, une fois admis le théorème fondamental de l’algèbre, la factorisation de tout polynôme réel en facteurs du premier degré et en facteurs du second degré irréductibles.
1. Division euclidienne des polynômes. Étant donné deux polynômes $P$ et $Q$ , avec $Q$ non nul, il existe un quotient $C$ et un reste $R$ uniques tels que $P = Q \cdot C + R$ , avec $R$ nul ou de degré strictement inférieur à celui de $Q$ .
  Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Algèbre des polynômes réels.
2. Théorèmes du reste et du facteur. Le reste de la division de $P$ par $x - r$ est $P(r)$ ; par conséquent, $x - r$ divise $P$ si et seulement si $P(r) = 0$ .
  Utilise: 10. Division euclidienne des polynômes. Démontré dans: Algèbre des polynômes réels.
3. Lemme des racines distinctes. Si $r_1, \ldots, r_k$ sont des racines distinctes de $P$ , alors $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ ; en conséquence, un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles.
  Utilise: 2. Signe d’un produit, 11. Théorèmes du reste et du facteur. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Algèbre des polynômes réels.
4. Principe d’identification. Deux polynômes prennent la même valeur en tout réel si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients, puissance par puissance ; d’où chaque polynôme s’identifie à sa fonction, et la racine carrée n’est pas une fonction rationnelle.
  Utilise: 12. Lemme des racines distinctes. Démontré dans: Algèbre des polynômes réels.
5. Formule du second degré et discriminant. En complétant le carré, les racines de $ax^2 + bx + c$ sont $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ , avec $\Delta = b^2 - 4ac$ : il y en a deux si $\Delta > 0$ , une si $\Delta = 0$ , et aucune si $\Delta < 0$ , cas où le trinôme est irréductible sur les réels.
  Utilise: 2. Signe d’un produit, 11. Théorèmes du reste et du facteur. Démontré dans: Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n.
6. Factorisation et relations de Viète. Si $\Delta \geq 0$ , alors $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , avec $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
  Utilise: 14. Formule du second degré et discriminant, 13. Principe d’identification. Démontré dans: Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n.
7. Trinôme bicarré de discriminant strictement négatif. Si $b^2 - 4ac < 0$ , le trinôme $ax^4 + bx^2 + c$ est le produit de $a$ par deux polynômes réels du second degré irréductibles, $x^2 - kx + m$ et $x^2 + kx + m$ .
  Utilise: 14. Formule du second degré et discriminant. Démontré dans: Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n.
8. Division synthétique. Les coefficients du quotient de $P$ par $x - r$ s’obtiennent en abaissant le coefficient dominant et en ajoutant à chaque coefficient $r$ fois le nombre précédent ; le dernier nombre est le reste, $P(r)$ .
  Utilise: 10. Division euclidienne des polynômes, 13. Principe d’identification. Démontré dans: Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique.
9. Racines rationnelles. Si la fraction irréductible $\frac{p}{q}$ est racine d’un polynôme à coefficients entiers avec $a_0 \neq 0$ , alors $p$ divise $a_0$ et $q$ divise $a_n$ ; la démonstration utilise le lemme d’Euclide de la première unité.
  Repose sur: B (Lemme d’Euclide). Démontré dans: Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique.
10. Division synthétique répétée. La racine $r$ est de multiplicité $k$ , c’est-à-dire $P = (x - r)^k C$ avec $C(r) \neq 0$ , si et seulement si, en divisant successivement par $x - r$ , les $k$ premiers restes sont nuls et le suivant ne l’est pas.
  Utilise: 17. Division synthétique, 10. Division euclidienne des polynômes, 11. Théorèmes du reste et du facteur. Démontré dans: Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique.
11. Bornes des racines. Toute racine réelle vérifie $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ (borne de Cauchy), où $M$ est la plus grande des valeurs absolues des autres coefficients, et si la division synthétique par $x - c$ , avec $c > 0$ et $a_n > 0$ , donne une ligne sans nombre strictement négatif, aucune racine réelle ne dépasse $c$ .
  Utilise: 17. Division synthétique. Démontré dans: Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique.
12. Factorisation sur les réels. Tout polynôme réel de degré $n \geq 1$ est le produit de son coefficient dominant par des facteurs $x - r$ , avec $r$ réel, et par des facteurs du second degré unitaires irréductibles sur les réels.
  Utilise: 14. Formule du second degré et discriminant, 10. Division euclidienne des polynômes, 17. Division synthétique. Repose sur: A (Récurrence), E (Théorème fondamental de l’algèbre), D (Racines conjuguées). Démontré dans: Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique.
Tronçon 3 Du quotient à la courbe
- Préciser quand une simplification est une égalité et quand deux fractions rationnelles sont égales.
- Décomposer une fraction propre en éléments simples.
- Lire dans la factorisation le signe d’un polynôme ou d’un quotient, et en tirer la résolution d’inéquations et la recherche d’ensembles de définition.
- Étudier les fonctions rationnelles et les fonctions avec radicaux : asymptotes verticales, horizontales et obliques, courbes asymptotes, bornes de l’ensemble de définition et ensemble image.
1. Lemme de simplification. En tout réel qui n’annule pas $QC$ , la fraction $\frac{PC}{QC}$ vaut la même chose que $\frac{P}{Q}$ ; les deux sont la même fonction seulement si la seconde est restreinte à l’ensemble de définition de la première.
  Utilise: 2. Signe d’un produit. Démontré dans: Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples.
2. Égalité de fractions. Deux polynômes qui coïncident en tous les réels sauf un nombre fini sont égaux ; il s’ensuit que $\frac{P}{Q}$ et $\frac{R}{S}$ coïncident là où $QS$ ne s’annule pas si et seulement si $PS = QR$ .
  Utilise: 12. Lemme des racines distinctes, 13. Principe d’identification. Démontré dans: Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples.
3. Éléments simples. Toute fraction propre est, d’une manière unique, une somme de termes $\frac{A}{(x - r)^j}$ et $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ , un pour chaque puissance de chaque facteur de son dénominateur ; avec des facteurs du premier degré, l’existence s’obtient en séparant un terme à la fois et l’unicité en isolant en chaque racine la plus haute puissance ; avec des facteurs du second degré irréductibles, les deux sont admises.
  Utilise: 2. Signe d’un produit, 11. Théorèmes du reste et du facteur, 10. Division euclidienne des polynômes, 23. Égalité de fractions, 21. Factorisation sur les réels. Repose sur: F (Bézout et unicité de la factorisation). Démontré dans: Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples.
4. Signe d’un polynôme. Un produit de $n$ facteurs non nuls est strictement négatif s’il a un nombre impair de facteurs strictement négatifs ; par conséquent, le signe d’un polynôme factorisé change en traversant une racine si et seulement si sa multiplicité est impaire, et les facteurs irréductibles gardent le signe de leur coefficient dominant.
  Utilise: 2. Signe d’un produit, 14. Formule du second degré et discriminant, 19. Division synthétique répétée. Repose sur: A (Récurrence). Démontré dans: Tableaux de signes et inéquations.
5. Asymptotes verticales et points évitables. Si $r$ annule le dénominateur de $\frac{A}{B}$ et $A(r) \neq 0$ , la droite $x = r$ est une asymptote verticale ; si $A(r) = 0$ , le facteur commun se simplifie et, si la fraction simplifiée est définie en $r$ , celui-ci est un point de discontinuité évitable.
  Utilise: 11. Théorèmes du reste et du facteur, 22. Lemme de simplification, 25. Signe d’un polynôme. Repose sur: G (Limites et continuité). Démontré dans: Tableaux de signes et inéquations.
6. Asymptotes d’une fonction rationnelle. Si $P = Q \cdot C + R$ , la différence entre $\frac{P}{Q}$ et $C$ est $\frac{R}{Q}$ , qui tend vers $0$ aux deux bouts : le quotient $C$ est l’asymptote horizontale ou oblique, ou bien la courbe asymptote, et le tableau de signes décide dans quelle direction s’échappent les branches près des asymptotes verticales.
  Utilise: 10. Division euclidienne des polynômes, 26. Asymptotes verticales et points évitables. Repose sur: G (Limites et continuité). Démontré dans: Fonctions rationnelles : asymptotes et courbe représentative.
7. Zéros et ensemble image d’une fonction rationnelle. Par le théorème des valeurs intermédiaires, une fonction rationnelle qui change de signe sur un intervalle de son ensemble de définition s’y annule, et une fonction qui, sur un intervalle de son ensemble de définition, prend des valeurs plus grandes et plus petites que n’importe quel nombre y prend toutes les valeurs réelles ; si l’équation $y \cdot Q(x) = P(x)$ est de degré $2$ , son discriminant donne l’ensemble image.
  Utilise: 14. Formule du second degré et discriminant, 27. Asymptotes d’une fonction rationnelle. Repose sur: G (Limites et continuité), H (Valeurs intermédiaires). Démontré dans: Fonctions rationnelles : asymptotes et courbe représentative.
8. Ensemble de définition et bornes avec radicaux. L’ensemble de définition d’une fonction avec radicaux est l’intersection des ensembles que donnent les tableaux de signes de ses conditions ; si une racine de multiplicité impaire annule un radicande du numérateur, la courbe s’y termine sur l’axe des $x$ ; si un dénominateur s’annule avec un numérateur non nul, il y a une asymptote verticale ; et, par le théorème des valeurs intermédiaires, chaque branche prend toutes les valeurs comprises entre celles qu’elle atteint ou dont elle s’approche à ses bornes.
  Utilise: 25. Signe d’un polynôme, 26. Asymptotes verticales et points évitables. Repose sur: G (Limites et continuité), H (Valeurs intermédiaires). Démontré dans: Fonctions avec radicaux : ensemble de définition, signe, courbe.
9. Asymptotes avec radicaux. Comme $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , l’asymptote d’une fonction avec radicaux se cherche séparément lorsque $x \to \infty$ et lorsque $x \to -\infty$ , et elle peut être différente à chaque bout ; si $\frac{f(x)}{x}$ ne tend pas vers un nombre, il n’y a pas d’asymptote rectiligne.
  Utilise: 27. Asymptotes d’une fonction rationnelle. Repose sur: G (Limites et continuité). Démontré dans: Fonctions avec radicaux : ensemble de définition, signe, courbe.

Vers la géométrie analytique. L’unité suivante étudie des courbes du plan au moyen de leurs équations : les droites, la parabole, que l’on caractérise en complétant le carré, le cercle comme réunion des courbes de $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ et l’hyperbole $y = \frac{1}{x}$ avec ses deux asymptotes.

Dans la suite de cette leçon

L’unité dans le cours
Ce qui s’appuie sur les unités précédentes
Le lien avec la géométrie analytique
Évaluation de sortie
Défis
Un reste de degré énorme
Une fonction qui revient au bout de trois applications
Un polynôme qui commute avec un carré
Un polynôme qui imite une fraction
Sommes sur les racines d’une cubique
Une racine carrée plus une racine cubique
Un produit télescopique
Un code partagé entre trois personnes
Une fraction enfermée entre deux nombres
Une racine aux deux comportements à l’infini