代数函数与多项式：总结与挑战

摘要

本课结束关于代数函数与多项式的单元。它把本单元九节课所证明的内容汇成一条演绎链，从函数的概念和带余除法，一直到对有理函数与含根式的函数的完整分析；它说明本单元如何依托前面各单元中的自然数与数集，坦率地指出哪些结果是未加证明而承认的，并解释本单元如何与平面解析几何相衔接。最后给出十道挑战题，难度高于本单元的习题，需要把好几节课结合起来并找到一个想法。

学习目标

重建本单元的定义与定理之链，说明哪个结果依靠哪个结果。
把关于多项式的定理与前面各单元中学过的关于整数的类似定理联系起来。
区分本单元中已证明的结果与被承认、将在其他课程中证明的结果。
解决需要结合本单元好几节课、并需要一个非机械的想法的问题，其中包括用多项式描述一个具体情境。

本单元的收获

函数及其运算

本单元从函数的概念开始：函数是一条法则，它给定义域中的每个元素指定恰好一个像。在关于代数函数的课中，确定了决定一个公式的定义域的法则，证明了积的符号引理（它是此后整个符号研究的基础），并把函数分为多项式函数、有理函数、无理函数和超越函数；这种分类针对的是函数而不是它们的公式，它并非空洞，这一点由下述证明表明： $\frac{1}{x}$ 不与任何多项式相同；而关于多项式的代数的课随后又证明了 $\sqrt{x}$ 不是有理函数。关于函数的运算的课把实函数当作对象来处理。它从第一单元关于集合、关系与函数的课继承了复合的结合律，以及「函数有反函数当且仅当它是双射」这一定理；又加上了实函数特有的内容：复合的定义域，在这样的定义域下复合仍满足结合律，但不满足交换律；严格单调函数是到其值域上的双射，并有单调的反函数，这使得不是单射的函数可以通过限制来求反函数；反函数的图像与原函数的图像关于直线 $y = x$ 对称；以及定义域对称的每个函数都可以唯一地写成一个偶函数与一个奇函数之和。

多项式及其因式分解

本单元的核心是多项式理论，它以一条定理链的形式展开，每个定理都依靠前一个。

带余除法在关于多项式的代数的课中得到证明，它给出唯一的商式和余式。以 $x - r$ 为除式时，余式是 $P(r)$ （余数定理），由此得到因式定理： $r$ 是根当且仅当 $x - r$ 整除 $P$ 。
把因式定理用于多个根，就得到不同根引理：次数为 $n$ 的非零多项式至多有 $n$ 个根。由它推出多项式恒等原理：两个多项式定义同一个函数，当且仅当它们的系数相同。由于在此之前多项式一直是通过系数来处理的，这个顺序并不循环；从此以后，每个多项式都与它的函数等同，可以比较系数，在无穷多个点处相等的两个多项式相等，并且可以证明平方根不是有理函数。
为了求根，关于二次多项式的因式分解的课进行配方，得到求根公式、判别式和韦达定理；关于高次多项式的根的课又加上了综合除法、有理根定理、重数以及根的界。
承认代数基本定理，再借助共轭根定理，就证明了实数范围内的因式分解：每个实多项式都等于它的首项系数乘以若干因式 $x - r$ ，再乘以若干不可约二次因式。

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

从商到图像

有了因式分解，本单元的后半部分研究商。关于分式的课表明，约去公因式只在原来的定义域上才是等式，刻画了两个分式相等的条件，并证明了当分母只有一次因式时部分分式分解的存在性与唯一性：因式互不相同时，系数可以通过在各个根处对一个恒等式求值得到，而由多项式恒等原理，这个恒等式在分式无定义的地方也成立；因式重复时，唯一性要求在每个根处分离出最高次幂的那一项。关于符号表与不等式的课把符号法则推广到 $n$ 个因式，并从因式分解中读出多项式或商的符号：穿过奇数重的根时符号改变，在偶数重的根处符号保持不变，而不可约因式不起作用。由此得到不等式的解法和定义域的求法，以及垂直渐近线与可去点的区分。

最后两节课汇集了所有工具。在关于有理函数的课中，除法把 $\frac{P}{Q}$ 写成多项式 $C$ 加上一个趋于零的真分式，而 $C$ 就是水平、斜或曲线渐近线；符号表决定各分支向哪里逃逸，而当方程 $y \cdot Q(x) = P(x)$ 的次数为 $2$ 时，它的判别式给出值域。在关于含根式的函数的课中，等式 $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ 迫使我们分别处理变量的大的正值和大的负值，而同一个函数可以有两条不同的渐近线。

未加证明而承认的内容

本单元明确说明了它没有证明的东西。它承认了代数基本定理，其证明需要分析学的工具。它在直观的意义上使用了极限的箭头，用来描述渐近线以及函数在一点附近或无穷远处的性态：所证明的是函数在每一侧的符号和分离出渐近线的分解，所描述的则是趋近本身。它承认有理函数与含根式的函数在其定义域的每个区间上连续，并承认一般形式的介值定理：在区间 $\icc{a}{b}$ 上连续的函数取到介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每一个值，特别地，若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，则函数有零点，这就是波尔查诺定理；借助它找到了代数所达不到的零点，并计算了值域。它承认了有不可约二次因式时部分分式分解的存在性与唯一性（这需要多项式之间的裴蜀等式），也承认了实数范围内因式分解的唯一性，而若干多项式的最小公倍式在相差一个常数因子的意义下是确定的，正依赖于这种唯一性。最后，它承认由代数式定义的每个函数都满足一个关于 $x$ 和 $y$ 的多项式方程，而没有任何其他结果依赖于这一事实。不能通过代数变换显现的最大值和最小值则仍未解决。极限、连续性、介值、极值以及部分分式的积分在微积分 I与微积分 II课程中学习；而代数基本定理则在复分析课程中证明。

下图把三段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节。它们都是被承认的或来自前面各单元的，因此画成圆环；本单元证明并反复使用的结果，例如积的符号引理或因式定理，则作为环节出现，并用弧线连到使用它们的环节。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A归纳法. 一个性质若在初始情形成立，并且能从每个情形传递到紧接其后的情形，或从此前的所有情形传递到紧接其后的情形，那么它总是成立；已在关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
B欧几里得引理. 若一个素数整除若干整数之积，则它整除其中某个因数；由此可知，若一个整数整除一个积，并且与其中一个因数互素，则它整除另一个因数；已在关于自然数的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
C复合与反函数. 函数的复合满足结合律并保持单射性；函数有反函数当且仅当它是双射，并且这个反函数是唯一的；已在关于集合、关系与函数的课中证明。本单元中不加证明而采用。
D共轭根. 若一个复数是某个实系数多项式的根，则它的共轭也是该多项式的根；已在关于数集的单元中证明。本单元中不加证明而采用。
E代数基本定理. 每个次数为 $n \geq 1$ 的复系数多项式至少有一个复根；不加证明而承认。本单元中不加证明而采用。
F裴蜀定理与因式分解的唯一性. 若两个多项式没有正次数的公因式，则存在多项式 $U$ 和 $V$ ，使得 $U A + V B = 1$ ；并且实多项式分解为一次因式与不可约二次因式的方式，在不计顺序的意义下是唯一的；这两点都被承认，因为本课程不展开多项式的最大公因式理论。本单元中不加证明而采用。
G极限与连续性. 箭头 $x \to r$ 与 $f(x) \to \infty$ 具有直观的意义，并且有理函数与含根式的函数在其定义域的每个区间上连续；在微积分 I 课程之前予以承认。本单元中不加证明而采用。
H介值. 若函数在区间 $\icc{a}{b}$ 上连续，则它在其中取到介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每一个值；特别地，若 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，则它在 $\ioo{a}{b}$ 中的某一点处为零（波尔查诺定理）；在微积分 I 课程之前予以承认。本单元中不加证明而采用。

第 1 段函数及其运算
- 定义函数，并确定决定一个公式的定义域的法则。
- 证明积的符号引理，它是此后符号研究的基础。
- 对代数函数进行分类，并证明这种分类并非空洞。
- 把实函数当作对象来处理：复合的定义域，通过限制到函数单调的集合上来求反函数，反函数的图像，以及分解为偶部与奇部。
1. 函数与定义域. 函数给其定义域中的每个元素指定恰好一个像；一个公式的定义域要排除分母的零点以及偶次根式中为负的被开方数。
  证明于: 实变量的代数函数.
2. 积的符号. 对实数 $a$ 和 $b$ ， $ab = 0$ 当且仅当 $a = 0$ 或 $b = 0$ ，而 $ab > 0$ 当且仅当两者都不为零且同号；若 $b \neq 0$ ，则商 $\frac{a}{b}$ 与 $ab$ 同号。
  证明于: 实变量的代数函数.
3. 不是多项式的商. 没有任何多项式函数在所有非零实数上都与 $\frac{1}{x}$ 相同；因此存在不是多项式函数的有理函数。
  使用: 1. 函数与定义域. 证明于: 实变量的代数函数.
4. 幂与方根的图像. 当 $n \geq 2$ 时，函数 $x^n$ 与 $\sqrt[n]{x}$ 保持非负实数的顺序， $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ （当 $0 < x < 1$ 时），并且幂函数是偶函数还是奇函数，取决于 $n$ 是偶数还是奇数。
  使用: 1. 函数与定义域. 证明于: 实变量的代数函数.
5. 复合的定义域. 对实函数而言， $f \circ g$ 的定义域由这样的 $x$ 组成：它属于 $g$ 的定义域，并且它的像属于 $f$ 的定义域；在这样的定义域下，复合满足结合律，但不满足交换律。
  使用: 1. 函数与定义域. 依据: C (复合与反函数). 证明于: 函数的运算、反函数与图像变换.
6. 单调函数. 每个严格递增或严格递减的函数都是单射，并且两个递增函数之和是递增的。
  使用: 1. 函数与定义域. 证明于: 函数的运算、反函数与图像变换.
7. 单调函数的反函数. 在实数集 $A$ 上严格递增的函数是从 $A$ 到其值域的双射，并且它的反函数严格递增；对严格递减的函数也有同样的结论。这样，不是单射的函数可以通过限制定义域来求反函数。
  使用: 6. 单调函数. 依据: C (复合与反函数). 证明于: 函数的运算、反函数与图像变换.
8. 反函数的图像. 点 $(a, b)$ 在 $f$ 的图像上，当且仅当 $(b, a)$ 在 $f^{-1}$ 的图像上；因此反函数的图像与 $f$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称。
  使用: 7. 单调函数的反函数. 依据: C (复合与反函数). 证明于: 函数的运算、反函数与图像变换.
9. 偶部与奇部. 两个偶函数之积或两个奇函数之积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数之积是奇函数；定义域对称的每个函数都可以唯一地写成一个偶函数与一个奇函数之和。
  使用: 1. 函数与定义域. 证明于: 函数的运算、反函数与图像变换.
第 2 段多项式及其因式分解
- 证明带余除法，并由它推出余数定理与因式定理。
- 估计多项式的根的个数，并得到多项式恒等原理。
- 求根：求根公式、判别式、韦达定理、综合除法、有理根、重数与界。
- 在承认代数基本定理的前提下，证明每个实多项式都可以分解为一次因式与不可约二次因式。
1. 带余除法. 给定两个多项式 $P$ 和 $Q$ ，其中 $Q$ 不为零，则存在唯一的商式 $C$ 和余式 $R$ ，使得 $P = Q \cdot C + R$ ，并且 $R$ 为零或其次数小于 $Q$ 的次数。
  依据: A (归纳法). 证明于: 实系数多项式的代数.
2. 余数定理与因式定理. $P$ 除以 $x - r$ 的余式是 $P(r)$ ；因此， $x - r$ 整除 $P$ 当且仅当 $P(r) = 0$ 。
  使用: 10. 带余除法. 证明于: 实系数多项式的代数.
3. 不同根引理. 若 $r_1, \ldots, r_k$ 是 $P$ 的不同的根，则 $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ ；因此，次数为 $n$ 的非零多项式至多有 $n$ 个实根。
  使用: 2. 积的符号, 11. 余数定理与因式定理. 依据: A (归纳法). 证明于: 实系数多项式的代数.
4. 多项式恒等原理. 两个多项式在每个实数处取相同的值，当且仅当它们的同次幂系数一一相同；因此每个多项式都与它的函数等同，并且平方根不是有理函数。
  使用: 12. 不同根引理. 证明于: 实系数多项式的代数.
5. 求根公式与判别式. 通过配方， $ax^2 + bx + c$ 的根是 $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ，其中 $\Delta = b^2 - 4ac$ ：若 $\Delta > 0$ 则有两个根，若 $\Delta = 0$ 则有一个，若 $\Delta < 0$ 则没有，这时该多项式在实数范围内不可约。
  使用: 2. 积的符号, 11. 余数定理与因式定理. 证明于: 二次多项式与 2n 次三项式的因式分解.
6. 因式分解与韦达定理. 若 $\Delta \geq 0$ ，则 $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ ，其中 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ， $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ 。
  使用: 14. 求根公式与判别式, 13. 多项式恒等原理. 证明于: 二次多项式与 2n 次三项式的因式分解.
7. 判别式为负的双二次三项式. 若 $b^2 - 4ac < 0$ ，则三项式 $ax^4 + bx^2 + c$ 等于 $a$ 乘以两个在实数范围内不可约的实二次多项式之积，这两个多项式是 $x^2 - kx + m$ 与 $x^2 + kx + m$ 。
  使用: 14. 求根公式与判别式. 证明于: 二次多项式与 2n 次三项式的因式分解.
8. 综合除法. $P$ 除以 $x - r$ 所得商式的系数这样得到：落下首项系数，再把前一个数的 $r$ 倍加到每个系数上；最后一个数就是余式 $P(r)$ 。
  使用: 10. 带余除法, 13. 多项式恒等原理. 证明于: 高次多项式的根与综合除法.
9. 有理根. 若既约分数 $\frac{p}{q}$ 是某个整系数多项式的根，且 $a_0 \neq 0$ ，则 $p$ 整除 $a_0$ ， $q$ 整除 $a_n$ ；证明用到第一单元的欧几里得引理。
  依据: B (欧几里得引理). 证明于: 高次多项式的根与综合除法.
10. 重复的综合除法. 根 $r$ 的重数为 $k$ ，即 $P = (x - r)^k C$ 且 $C(r) \neq 0$ ，当且仅当用 $x - r$ 连续去除时，前 $k$ 个余式为零，而紧随其后的那个不为零。
  使用: 17. 综合除法, 10. 带余除法, 11. 余数定理与因式定理. 证明于: 高次多项式的根与综合除法.
11. 根的界. 每个实根都满足 $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ （柯西界），其中 $M$ 是其余各系数绝对值中的最大者；若用 $x - c$ 作综合除法（其中 $c > 0$ ， $a_n > 0$ ）所得的一行中没有负数，则任何实根都不超过 $c$ 。
  使用: 17. 综合除法. 证明于: 高次多项式的根与综合除法.
12. 实数范围内的因式分解. 每个次数为 $n \geq 1$ 的实多项式都等于它的首项系数乘以若干因式 $x - r$ （其中 $r$ 为实数），再乘以若干在实数范围内不可约的首一二次因式。
  使用: 14. 求根公式与判别式, 10. 带余除法, 17. 综合除法. 依据: A (归纳法), E (代数基本定理), D (共轭根). 证明于: 高次多项式的根与综合除法.
第 3 段从商到图像
- 弄清约分何时是等式，以及两个分式何时相等。
- 把真分式分解为部分分式。
- 从因式分解中读出多项式或商的符号，并据此解不等式、求定义域。
- 分析有理函数与含根式的函数：垂直、水平、斜和曲线渐近线，定义域的端点，以及值域。
1. 约分引理. 在每个不使 $QC$ 为零的实数处，分式 $\frac{PC}{QC}$ 与 $\frac{P}{Q}$ 的值相同；只有把后者限制在前者的定义域上，两者才是同一个函数。
  使用: 2. 积的符号. 证明于: 分式与部分分式.
2. 分式的相等. 除有限个实数外处处相等的两个多项式相等；由此可知， $\frac{P}{Q}$ 与 $\frac{R}{S}$ 在 $QS$ 不为零之处相等，当且仅当 $PS = QR$ 。
  使用: 12. 不同根引理, 13. 多项式恒等原理. 证明于: 分式与部分分式.
3. 部分分式. 每个真分式都可以唯一地写成形如 $\frac{A}{(x - r)^j}$ 与 $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ 的项之和，其分母的每个因式的每个幂各对应一项；对一次因式，存在性通过每次分离出一项得到，唯一性通过在每个根处分离出最高次幂得到；对不可约二次因式，两者都被承认。
  使用: 2. 积的符号, 11. 余数定理与因式定理, 10. 带余除法, 23. 分式的相等, 21. 实数范围内的因式分解. 依据: F (裴蜀定理与因式分解的唯一性). 证明于: 分式与部分分式.
4. 多项式的符号. $n$ 个非零因式之积为负，当且仅当其中负因式的个数为奇数；因此，已分解的多项式穿过一个根时符号改变，当且仅当该根的重数为奇数，而不可约因式保持其首项系数的符号。
  使用: 2. 积的符号, 14. 求根公式与判别式, 19. 重复的综合除法. 依据: A (归纳法). 证明于: 符号表与不等式.
5. 垂直渐近线与可去点. 若 $r$ 使 $\frac{A}{B}$ 的分母为零且 $A(r) \neq 0$ ，则直线 $x = r$ 是垂直渐近线；若 $A(r) = 0$ ，则公因式可以约去，并且若约分后的分式在 $r$ 处有定义，则该点是可去点。
  使用: 11. 余数定理与因式定理, 22. 约分引理, 25. 多项式的符号. 依据: G (极限与连续性). 证明于: 符号表与不等式.
6. 有理函数的渐近线. 若 $P = Q \cdot C + R$ ，则 $\frac{P}{Q}$ 与 $C$ 之差为 $\frac{R}{Q}$ ，它在两端都趋于 $0$ ：商式 $C$ 就是水平、斜或曲线渐近线，而符号表决定各分支在垂直渐近线附近向哪里逃逸。
  使用: 10. 带余除法, 26. 垂直渐近线与可去点. 依据: G (极限与连续性). 证明于: 有理函数：渐近线与图像.
7. 有理函数的零点与值域. 由介值定理，在其定义域的某个区间上变号的有理函数在该区间内有零点；在其定义域的某个区间上取到比任何数都大的值和比任何数都小的值的函数，在那里取到所有实数值；若方程 $y \cdot Q(x) = P(x)$ 的次数为 $2$ ，则它的判别式给出值域。
  使用: 14. 求根公式与判别式, 27. 有理函数的渐近线. 依据: G (极限与连续性), H (介值). 证明于: 有理函数：渐近线与图像.
8. 含根式时的定义域与端点. 含根式的函数的定义域，是其各个条件的符号表所给出的集合的交集；若一个奇数重的根使分子中的被开方数为零，则图像在那里终止于 $x$ 轴上；若分母为零而分子不为零，则有一条垂直渐近线；并且由介值定理，每个分支取到介于它在端点处达到或趋近的值之间的所有值。
  使用: 25. 多项式的符号, 26. 垂直渐近线与可去点. 依据: G (极限与连续性), H (介值). 证明于: 含根式的函数：定义域、符号与图像.
9. 含根式时的渐近线. 由于 $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ ，含根式的函数的渐近线要分别在 $x \to \infty$ 时和 $x \to -\infty$ 时求出，并且在两端可以不同；若 $\frac{f(x)}{x}$ 不趋于一个数，则没有直线渐近线。
  使用: 27. 有理函数的渐近线. 依据: G (极限与连续性). 证明于: 含根式的函数：定义域、符号与图像.

走向解析几何. 下一单元通过方程来研究平面曲线：直线，用配方来刻画的抛物线，作为 $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ 的图像之并的圆，以及双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 及其两条渐近线。