Αλγεβρικές συναρτήσεις και πολυώνυμα: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις και τα πολυώνυμα. Συγκεντρώνει σε μία αποδεικτική αλυσίδα όσα αποδείχθηκαν στα εννέα μαθήματά της, από την έννοια της συνάρτησης και την ταυτότητα της διαίρεσης ως την πλήρη μελέτη των ρητών συναρτήσεων και των συναρτήσεων με ρίζες· δείχνει πώς στηρίζεται στους φυσικούς αριθμούς και στα σύνολα αριθμών των προηγούμενων ενοτήτων, σημειώνει με ειλικρίνεια τα αποτελέσματα που έγιναν δεκτά χωρίς απόδειξη και εξηγεί πώς συνδέεται με την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου. Κλείνει με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προτεινόμενα προβλήματα της ενότητας, που απαιτούν να συνδυαστούν πολλά μαθήματα και να βρεθεί μια ιδέα.

Μαθησιακοί στόχοι

Να ανασυνθέτει την αλυσίδα των ορισμών και των θεωρημάτων της ενότητας, εξηγώντας ποιο αποτέλεσμα στηρίζεται σε ποιο.
Να συσχετίζει τα θεωρήματα για τα πολυώνυμα με τα ανάλογά τους για τους ακεραίους, που μελετήθηκαν στις προηγούμενες ενότητες.
Να διακρίνει τα αποτελέσματα που αποδείχθηκαν στην ενότητα από εκείνα που έγιναν δεκτά και θα αποδειχθούν σε άλλους κύκλους μαθημάτων.
Να λύνει προβλήματα που συνδυάζουν πολλά μαθήματα της ενότητας και απαιτούν μια μη μηχανική ιδέα, ανάμεσά τους τη διατύπωση μιας συγκεκριμένης κατάστασης με πολυώνυμα.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Οι συναρτήσεις και οι πράξεις τους

Η ενότητα ξεκίνησε με την έννοια της συνάρτησης: έναν κανόνα που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού ακριβώς μία εικόνα. Στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις καθορίστηκαν οι κανόνες που προσδιορίζουν το πεδίο ορισμού ενός τύπου, αποδείχθηκε το λήμμα του προσήμου ενός γινομένου, βάση όλης της κατοπινής μελέτης των προσήμων, και οι συναρτήσεις ταξινομήθηκαν σε πολυωνυμικές, ρητές, άρρητες και υπερβατικές· ότι η ταξινόμηση, που αφορά τις συναρτήσεις και όχι τους τύπους τους, δεν είναι κενή το έδειξε η απόδειξη ότι η $\frac{1}{x}$ δεν συμπίπτει με κανένα πολυώνυμο, και το μάθημα για την άλγεβρα των πολυωνύμων απέδειξε έπειτα ότι η $\sqrt{x}$ δεν είναι ρητή συνάρτηση. Το μάθημα για τις πράξεις συναρτήσεων μεταχειρίστηκε τις πραγματικές συναρτήσεις ως αντικείμενα. Από το μάθημα για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις της πρώτης ενότητας κληρονόμησε την προσεταιριστικότητα της σύνθεσης και το θεώρημα σύμφωνα με το οποίο μια συνάρτηση έχει αντίστροφη αν και μόνο αν είναι αμφιμονοσήμαντη· πρόσθεσε ό,τι είναι ίδιο των πραγματικών συναρτήσεων: το πεδίο ορισμού μιας σύνθεσης, με το οποίο η σύνθεση παραμένει προσεταιριστική αλλά όχι αντιμεταθετική· ότι μια γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι αμφιμονοσήμαντη επί του συνόλου τιμών της και έχει μονότονη αντίστροφη, πράγμα που επιτρέπει να αντιστραφούν με περιορισμό οι συναρτήσεις που δεν είναι ένα προς ένα· ότι η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι η συμμετρική ως προς την ευθεία $y = x$ · και ότι κάθε συνάρτηση με συμμετρικό πεδίο ορισμού είναι, με μοναδικό τρόπο, άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.

Τα πολυώνυμα και η παραγοντοποίησή τους

Το κέντρο της ενότητας είναι η θεωρία των πολυωνύμων, που αναπτύσσεται ως αλυσίδα θεωρημάτων, καθένα στηριγμένο στο προηγούμενο.

Η ταυτότητα της διαίρεσης, που αποδείχθηκε στο μάθημα για την άλγεβρα των πολυωνύμων, δίνει μοναδικό πηλίκο και μοναδικό υπόλοιπο. Με διαιρέτη το $x - r$ , το υπόλοιπο είναι $P(r)$ (θεώρημα του υπολοίπου), και από εκεί προκύπτει το θεώρημα του παράγοντα: το $r$ είναι ρίζα αν και μόνο αν το $x - r$ διαιρεί το $P$ .
Εφαρμοσμένο σε πολλές ρίζες, το θεώρημα του παράγοντα δίνει το λήμμα των διαφορετικών ριζών: ένα μη μηδενικό πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει το πολύ $n$ ρίζες. Από αυτό συνάγεται η αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων: δύο πολυώνυμα ορίζουν την ίδια συνάρτηση αν και μόνο αν έχουν τους ίδιους συντελεστές. Επειδή ως εκείνη τη στιγμή τα πολυώνυμα μελετήθηκαν μέσω των συντελεστών τους, η σειρά δεν είναι κυκλική· και από τότε κάθε πολυώνυμο ταυτίζεται με τη συνάρτησή του, οι συντελεστές μπορούν να συγκριθούν, δύο πολυώνυμα που συμπίπτουν σε άπειρα σημεία είναι ίσα και αποδεικνύεται ότι η τετραγωνική ρίζα δεν είναι ρητή συνάρτηση.
Για την εύρεση των ριζών, το μάθημα για την παραγοντοποίηση του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου συμπλήρωσε το τετράγωνο και έδωσε τον τύπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, τη διακρίνουσα και τους τύπους του Βιέτ· το μάθημα για τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού πρόσθεσε τη συνθετική διαίρεση, το θεώρημα των ρητών ριζών, την πολλαπλότητα και τα φράγματα των ριζών.
Με δεκτό το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, και με το θεώρημα των συζυγών ριζών, αποδείχθηκε η παραγοντοποίηση στους πραγματικούς: κάθε πραγματικό πολυώνυμο είναι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του επί παράγοντες $x - r$ και επί ανάγωγους τετραγωνικούς παράγοντες.

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

Από το πηλίκο στη γραφική παράσταση

Με την παραγοντοποίηση στο χέρι, το δεύτερο μισό της ενότητας μελέτησε τα πηλίκα. Το μάθημα για τις ρητές παραστάσεις έδειξε ότι η απλοποίηση ενός κοινού παράγοντα είναι ισότητα μόνο στο αρχικό πεδίο ορισμού, χαρακτήρισε την ισότητα δύο κλασμάτων και απέδειξε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της ανάλυσης σε απλά κλάσματα όταν ο παρονομαστής έχει μόνο γραμμικούς παράγοντες: με διαφορετικούς παράγοντες, οι συντελεστές προκύπτουν υπολογίζοντας στις ρίζες μια ταυτότητα που, λόγω της αρχής της ταυτότητας των πολυωνύμων, ισχύει και εκεί όπου τα κλάσματα δεν ορίζονται· με επαναλαμβανόμενους παράγοντες, η μοναδικότητα απαιτεί να απομονωθεί σε κάθε ρίζα ο όρος της μεγαλύτερης δύναμης. Το μάθημα για τους πίνακες προσήμων επέκτεινε τον κανόνα των προσήμων σε $n$ παράγοντες και διάβασε στην παραγοντοποίηση το πρόσημο ενός πολυωνύμου ή ενός πηλίκου: το πρόσημο αλλάζει όταν διασχίζουμε μια ρίζα περιττής πολλαπλότητας, διατηρείται σε μια ρίζα άρτιας πολλαπλότητας, και οι ανάγωγοι παράγοντες δεν μετρούν. Από αυτό προέκυψαν η επίλυση ανισώσεων και ο προσδιορισμός πεδίων ορισμού, καθώς και η διάκριση ανάμεσα σε κατακόρυφες ασύμπτωτες και αιρόμενα σημεία.

Τα δύο τελευταία μαθήματα συγκέντρωσαν όλα τα εργαλεία. Στο μάθημα για τις ρητές συναρτήσεις, η διαίρεση γράφει το $\frac{P}{Q}$ ως ένα πολυώνυμο $C$ συν ένα γνήσιο κλάσμα που τείνει στο μηδέν, και το $C$ είναι η οριζόντια, πλάγια ή καμπυλόγραμμη ασύμπτωτη· ο πίνακας προσήμων αποφασίζει προς τα πού διαφεύγουν οι κλάδοι, και η διακρίνουσα της εξίσωσης $y \cdot Q(x) = P(x)$ δίνει το σύνολο τιμών όταν αυτή η εξίσωση είναι βαθμού $2$ . Στο μάθημα για τις συναρτήσεις με ρίζες, η ισότητα $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ υποχρεώνει να εξεταστούν χωριστά οι μεγάλες θετικές και οι μεγάλες αρνητικές τιμές της μεταβλητής, και μία και η αυτή συνάρτηση μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ασύμπτωτες.

Όσα δεχτήκαμε χωρίς απόδειξη

Η ενότητα υπήρξε σαφής ως προς όσα δεν απέδειξε. Έγινε δεκτό το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, του οποίου οι αποδείξεις απαιτούν εργαλεία της ανάλυσης. Χρησιμοποιήθηκαν με διαισθητική σημασία τα βέλη των ορίων, με τα οποία περιγράφονται οι ασύμπτωτες και η συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε ένα σημείο ή στο άπειρο: αποδείχθηκε το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε πλευρά και η ανάλυση που απομονώνει την ασύμπτωτη, ενώ περιγράφηκε η ίδια η προσέγγιση. Έγινε δεκτό ότι οι ρητές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις με ρίζες είναι συνεχείς σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού τους, και, στη γενική του μορφή, το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών: μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα $\icc{a}{b}$ παίρνει κάθε τιμή που περιέχεται μεταξύ $f(a)$ και $f(b)$ , και ειδικότερα μηδενίζεται αν τα $f(a)$ και $f(b)$ έχουν αντίθετα πρόσημα, που είναι το θεώρημα του Μπολτσάνο· με αυτό εντοπίστηκαν μηδενικά που η άλγεβρα δεν φτάνει και υπολογίστηκαν σύνολα τιμών. Έγιναν δεκτές η ύπαρξη και η μοναδικότητα της ανάλυσης σε απλά κλάσματα όταν υπάρχουν ανάγωγοι τετραγωνικοί παράγοντες, που απαιτούν την ταυτότητα του Μπεζού για πολυώνυμα, και η μοναδικότητα της παραγοντοποίησης στους πραγματικούς, από την οποία εξαρτάται το ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών πολυωνύμων είναι ορισμένο με προσέγγιση σταθερού παράγοντα. Τέλος, έγινε δεκτό ότι κάθε συνάρτηση που ορίζεται από μια αλγεβρική παράσταση ικανοποιεί μια πολυωνυμική εξίσωση ως προς $x$ και $y$ , γεγονός από το οποίο δεν εξαρτάται κανένα άλλο αποτέλεσμα. Και έμειναν ανοιχτά τα μέγιστα και τα ελάχιστα που δεν φανερώνονται με έναν αλγεβρικό μετασχηματισμό. Τα όρια, η συνέχεια, οι ενδιάμεσες τιμές, τα ακρότατα και η ολοκλήρωση των απλών κλασμάτων μελετώνται στους κύκλους μαθημάτων Λογισμός I και Λογισμός II· το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, αντίθετα, αποδεικνύεται σε έναν κύκλο μαθημάτων μιγαδικής ανάλυσης.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους προηγούμενους κρίκους που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό. Όλα γίνονται δεκτά ή προέρχονται από τις προηγούμενες ενότητες, και γι’ αυτό σχεδιάζονται ως δακτύλιοι· τα αποτελέσματα που η ενότητα αποδεικνύει και ξαναχρησιμοποιεί, όπως το λήμμα του προσήμου ενός γινομένου ή το θεώρημα του παράγοντα, εμφανίζονται ως κρίκοι, ενωμένοι με τόξα με εκείνους που τα χρησιμοποιούν. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

AΕπαγωγή. Μια ιδιότητα που ισχύει σε μια αρχική περίπτωση και περνά από κάθε περίπτωση στην αμέσως μεγαλύτερη, ή από όλες τις προηγούμενες στην αμέσως μεγαλύτερη, ισχύει πάντα· αποδείχθηκε στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
BΛήμμα του Ευκλείδη. Αν ένας πρώτος διαιρεί ένα γινόμενο ακεραίων, διαιρεί κάποιον από τους παράγοντες· από αυτό έπεται ότι, αν ένας ακέραιος διαιρεί ένα γινόμενο και είναι πρώτος προς έναν από τους παράγοντες, διαιρεί τον άλλο· αποδείχθηκε στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
CΣύνθεση και αντίστροφη. Η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική και διατηρεί την ιδιότητα του ένα προς ένα, και μια συνάρτηση έχει αντίστροφη αν και μόνο αν είναι αμφιμονοσήμαντη, και αυτή η αντίστροφη είναι μοναδική· αποδείχθηκε στο μάθημα για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
DΣυζυγείς ρίζες. Αν ένας μιγαδικός αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές, ρίζα είναι και ο συζυγής του· αποδείχθηκε στην ενότητα για τα σύνολα αριθμών. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
EΘεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Κάθε πολυώνυμο βαθμού $n \geq 1$ με μιγαδικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία μιγαδική ρίζα· γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
FΜπεζού και μοναδική παραγοντοποίηση. Αν δύο πολυώνυμα δεν έχουν κοινούς παράγοντες θετικού βαθμού, υπάρχουν πολυώνυμα $U$ και $V$ με $U A + V B = 1$ · και η παραγοντοποίηση ενός πραγματικού πολυωνύμου σε γραμμικούς και ανάγωγους τετραγωνικούς παράγοντες είναι μοναδική χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά· γίνονται δεκτά, επειδή ο κύκλος μαθημάτων δεν αναπτύσσει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη πολυωνύμων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
GΌρια και συνέχεια. Τα βέλη $x \to r$ και $f(x) \to \infty$ έχουν διαισθητική σημασία, και οι ρητές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις με ρίζες είναι συνεχείς σε κάθε διάστημα του πεδίου ορισμού τους· γίνεται δεκτό ως τον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
HΕνδιάμεσες τιμές. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\icc{a}{b}$ , παίρνει σε αυτό κάθε τιμή που περιέχεται μεταξύ $f(a)$ και $f(b)$ · ειδικότερα, αν τα $f(a)$ και $f(b)$ έχουν αντίθετα πρόσημα, μηδενίζεται σε κάποιο σημείο του $\ioo{a}{b}$ (θεώρημα του Μπολτσάνο)· γίνεται δεκτό ως τον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.

Τμήμα 1 Οι συναρτήσεις και οι πράξεις τους
- Να ορίζει τη συνάρτηση και να καθορίζει τους κανόνες που προσδιορίζουν το πεδίο ορισμού ενός τύπου.
- Να αποδεικνύει το λήμμα του προσήμου ενός γινομένου, βάση της κατοπινής μελέτης των προσήμων.
- Να ταξινομεί τις αλγεβρικές συναρτήσεις και να αποδεικνύει ότι η ταξινόμηση δεν είναι κενή.
- Να μεταχειρίζεται τις πραγματικές συναρτήσεις ως αντικείμενα: πεδίο ορισμού της σύνθεσης, αντίστροφη με περιορισμό σε ένα σύνολο όπου η συνάρτηση είναι μονότονη, γραφική παράσταση της αντίστροφης και ανάλυση σε άρτιο και περιττό μέρος.
1. Συνάρτηση και πεδίο ορισμού. Μια συνάρτηση αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της ακριβώς μία εικόνα· το πεδίο ορισμού ενός τύπου αποκλείει τα μηδενικά των παρονομαστών και τις αρνητικές υπόρριζες ποσότητες των ριζών άρτιας τάξης.
  Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
2. Πρόσημο γινομένου. Για πραγματικούς $a$ και $b$ , ισχύει $ab = 0$ αν και μόνο αν $a = 0$ ή $b = 0$ , και $ab > 0$ αν και μόνο αν και οι δύο είναι μη μηδενικοί και ομόσημοι· αν $b \neq 0$ , το πηλίκο $\frac{a}{b}$ έχει το πρόσημο του $ab$ .
  Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
3. Ένα πηλίκο που δεν είναι πολυώνυμο. Καμία πολυωνυμική συνάρτηση δεν συμπίπτει με την $\frac{1}{x}$ σε όλους τους μη μηδενικούς πραγματικούς· επομένως υπάρχουν ρητές συναρτήσεις που δεν είναι πολυωνυμικές.
  Χρησιμοποιεί: 1. Συνάρτηση και πεδίο ορισμού. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
4. Γραφικές παραστάσεις δυνάμεων και ριζών. Για $n \geq 2$ , οι συναρτήσεις $x^n$ και $\sqrt[n]{x}$ διατηρούν τη διάταξη των μη αρνητικών πραγματικών, ισχύει $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ αν $0 < x < 1$ , και η δύναμη είναι άρτια ή περιττή ανάλογα με το αν είναι άρτιος ή περιττός ο $n$ .
  Χρησιμοποιεί: 1. Συνάρτηση και πεδίο ορισμού. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.
5. Πεδίο ορισμού της σύνθεσης. Για πραγματικές συναρτήσεις, το πεδίο ορισμού της $f \circ g$ αποτελείται από τα $x$ του πεδίου ορισμού της $g$ των οποίων η εικόνα βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της $f$ · με αυτά τα πεδία ορισμού η σύνθεση είναι προσεταιριστική, και δεν είναι αντιμεταθετική.
  Χρησιμοποιεί: 1. Συνάρτηση και πεδίο ορισμού. Στηρίζεται σε: C (Σύνθεση και αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων.
6. Μονότονες συναρτήσεις. Κάθε γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι ένα προς ένα, και το άθροισμα δύο αυξουσών συναρτήσεων είναι αύξουσα συνάρτηση.
  Χρησιμοποιεί: 1. Συνάρτηση και πεδίο ορισμού. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων.
7. Αντίστροφη μονότονης συνάρτησης. Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα σε ένα σύνολο $A$ πραγματικών είναι αμφιμονοσήμαντη από το $A$ στο σύνολο τιμών της, και η αντίστροφή της είναι γνησίως αύξουσα· το ίδιο ισχύει για τις γνησίως φθίνουσες. Έτσι αντιστρέφονται, με περιορισμό του πεδίου ορισμού, οι συναρτήσεις που δεν είναι ένα προς ένα.
  Χρησιμοποιεί: 6. Μονότονες συναρτήσεις. Στηρίζεται σε: C (Σύνθεση και αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων.
8. Γραφική παράσταση της αντίστροφης. Το σημείο $(a, b)$ βρίσκεται στη γραφική παράσταση της $f$ αν και μόνο αν το $(b, a)$ βρίσκεται σε εκείνη της $f^{-1}$ · επομένως η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι η συμμετρική εκείνης της $f$ ως προς την ευθεία $y = x$ .
  Χρησιμοποιεί: 7. Αντίστροφη μονότονης συνάρτησης. Στηρίζεται σε: C (Σύνθεση και αντίστροφη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων.
9. Άρτιο και περιττό μέρος. Το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτιο, και το γινόμενο μιας άρτιας και μιας περιττής είναι περιττό· κάθε συνάρτηση με συμμετρικό πεδίο ορισμού είναι, με μοναδικό τρόπο, άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.
  Χρησιμοποιεί: 1. Συνάρτηση και πεδίο ορισμού. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων.
Τμήμα 2 Τα πολυώνυμα και η παραγοντοποίησή τους
- Να αποδεικνύει την ταυτότητα της διαίρεσης και να συνάγει από αυτήν τα θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα.
- Να φράσσει το πλήθος των ριζών ενός πολυωνύμου και να καταλήγει στην αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων.
- Να βρίσκει τις ρίζες: τύπος επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, διακρίνουσα, τύποι του Βιέτ, συνθετική διαίρεση, ρητές ρίζες, πολλαπλότητα και φράγματα.
- Να αποδεικνύει, με δεκτό το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, την παραγοντοποίηση κάθε πραγματικού πολυωνύμου σε γραμμικούς και ανάγωγους τετραγωνικούς παράγοντες.
1. Ταυτότητα της διαίρεσης. Δοσμένων δύο πολυωνύμων $P$ και $Q$ , με το $Q$ μη μηδενικό, υπάρχουν μοναδικό πηλίκο $C$ και μοναδικό υπόλοιπο $R$ τέτοια ώστε $P = Q \cdot C + R$ , με το $R$ μηδενικό ή βαθμού μικρότερου από εκείνον του $Q$ .
  Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.
2. Θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ με το $x - r$ είναι $P(r)$ · επομένως, το $x - r$ διαιρεί το $P$ αν και μόνο αν $P(r) = 0$ .
  Χρησιμοποιεί: 10. Ταυτότητα της διαίρεσης. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.
3. Λήμμα των διαφορετικών ριζών. Αν οι $r_1, \ldots, r_k$ είναι διαφορετικές ρίζες του $P$ , τότε $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ · κατά συνέπεια, ένα μη μηδενικό πολυώνυμο βαθμού $n$ έχει το πολύ $n$ πραγματικές ρίζες.
  Χρησιμοποιεί: 2. Πρόσημο γινομένου, 11. Θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.
4. Αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων. Δύο πολυώνυμα παίρνουν την ίδια τιμή σε κάθε πραγματικό αν και μόνο αν έχουν τους ίδιους συντελεστές, δύναμη προς δύναμη· επομένως κάθε πολυώνυμο ταυτίζεται με τη συνάρτησή του, και η τετραγωνική ρίζα δεν είναι ρητή συνάρτηση.
  Χρησιμοποιεί: 12. Λήμμα των διαφορετικών ριζών. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Άλγεβρα πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.
5. Τύπος επίλυσης και διακρίνουσα. Με συμπλήρωση τετραγώνου, οι ρίζες του $ax^2 + bx + c$ είναι $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ , με $\Delta = b^2 - 4ac$ : υπάρχουν δύο αν $\Delta > 0$ , μία αν $\Delta = 0$ , και καμία αν $\Delta < 0$ , περίπτωση στην οποία το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους πραγματικούς.
  Χρησιμοποιεί: 2. Πρόσημο γινομένου, 11. Θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και τριώνυμο βαθμού 2n: παραγοντοποίηση.
6. Παραγοντοποίηση και τύποι του Βιέτ. Αν $\Delta \geq 0$ , τότε $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , με $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ και $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
  Χρησιμοποιεί: 14. Τύπος επίλυσης και διακρίνουσα, 13. Αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και τριώνυμο βαθμού 2n: παραγοντοποίηση.
7. Διτετράγωνο με αρνητική διακρίνουσα. Αν $b^2 - 4ac < 0$ , το τριώνυμο $ax^4 + bx^2 + c$ είναι το $a$ επί το γινόμενο δύο ανάγωγων πραγματικών δευτεροβάθμιων πολυωνύμων, των $x^2 - kx + m$ και $x^2 + kx + m$ .
  Χρησιμοποιεί: 14. Τύπος επίλυσης και διακρίνουσα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Δευτεροβάθμιο πολυώνυμο και τριώνυμο βαθμού 2n: παραγοντοποίηση.
8. Συνθετική διαίρεση. Οι συντελεστές του πηλίκου του $P$ διά $x - r$ προκύπτουν κατεβάζοντας τον μεγιστοβάθμιο συντελεστή και προσθέτοντας σε κάθε συντελεστή $r$ φορές τον προηγούμενο αριθμό· ο τελευταίος αριθμός είναι το υπόλοιπο, $P(r)$ .
  Χρησιμοποιεί: 10. Ταυτότητα της διαίρεσης, 13. Αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού και συνθετική διαίρεση.
9. Ρητές ρίζες. Αν το ανάγωγο κλάσμα $\frac{p}{q}$ είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές και $a_0 \neq 0$ , τότε ο $p$ διαιρεί τον $a_0$ και ο $q$ διαιρεί τον $a_n$ · η απόδειξη χρησιμοποιεί το λήμμα του Ευκλείδη της πρώτης ενότητας.
  Στηρίζεται σε: B (Λήμμα του Ευκλείδη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού και συνθετική διαίρεση.
10. Επαναλαμβανόμενη συνθετική διαίρεση. Η ρίζα $r$ έχει πολλαπλότητα $k$ , δηλαδή $P = (x - r)^k C$ με $C(r) \neq 0$ , αν και μόνο αν, όταν διαιρούμε διαδοχικά με το $x - r$ , τα $k$ πρώτα υπόλοιπα είναι μηδενικά ενώ εκείνο που ακολουθεί όχι.
  Χρησιμοποιεί: 17. Συνθετική διαίρεση, 10. Ταυτότητα της διαίρεσης, 11. Θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού και συνθετική διαίρεση.
11. Φράγματα των ριζών. Κάθε πραγματική ρίζα ικανοποιεί $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ (φράγμα του Κωσί), όπου $M$ είναι η μεγαλύτερη από τις απόλυτες τιμές των υπόλοιπων συντελεστών, και αν η συνθετική διαίρεση με το $x - c$ , με $c > 0$ και $a_n > 0$ , δίνει μια γραμμή χωρίς αρνητικούς αριθμούς, καμία πραγματική ρίζα δεν υπερβαίνει το $c$ .
  Χρησιμοποιεί: 17. Συνθετική διαίρεση. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού και συνθετική διαίρεση.
12. Παραγοντοποίηση στους πραγματικούς. Κάθε πραγματικό πολυώνυμο βαθμού $n \geq 1$ είναι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του επί παράγοντες $x - r$ , με $r$ πραγματικό, και επί μονικούς τετραγωνικούς παράγοντες ανάγωγους στους πραγματικούς.
  Χρησιμοποιεί: 14. Τύπος επίλυσης και διακρίνουσα, 10. Ταυτότητα της διαίρεσης, 17. Συνθετική διαίρεση. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή), E (Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας), D (Συζυγείς ρίζες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού και συνθετική διαίρεση.
Τμήμα 3 Από το πηλίκο στη γραφική παράσταση
- Να διευκρινίζει πότε μια απλοποίηση είναι ισότητα και πότε δύο ρητές παραστάσεις είναι ίσες.
- Να αναλύει ένα γνήσιο κλάσμα σε απλά κλάσματα.
- Να διαβάζει στην παραγοντοποίηση το πρόσημο ενός πολυωνύμου ή ενός πηλίκου και να λύνει με αυτό ανισώσεις και να βρίσκει πεδία ορισμού.
- Να μελετά τις ρητές συναρτήσεις και τις συναρτήσεις με ρίζες: κατακόρυφες, οριζόντιες, πλάγιες και καμπυλόγραμμες ασύμπτωτες, άκρα του πεδίου ορισμού και σύνολο τιμών.
1. Λήμμα της απλοποίησης. Σε κάθε πραγματικό που δεν μηδενίζει το $QC$ , το κλάσμα $\frac{PC}{QC}$ έχει την ίδια τιμή με το $\frac{P}{Q}$ · τα δύο είναι η ίδια συνάρτηση μόνο αν το δεύτερο περιοριστεί στο πεδίο ορισμού του πρώτου.
  Χρησιμοποιεί: 2. Πρόσημο γινομένου. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικά κλάσματα και ανάλυση σε απλά κλάσματα.
2. Ισότητα κλασμάτων. Δύο πολυώνυμα που συμπίπτουν σε όλους τους πραγματικούς εκτός από πεπερασμένο πλήθος είναι ίσα· από αυτό έπεται ότι τα $\frac{P}{Q}$ και $\frac{R}{S}$ συμπίπτουν όπου το $QS$ δεν μηδενίζεται αν και μόνο αν $PS = QR$ .
  Χρησιμοποιεί: 12. Λήμμα των διαφορετικών ριζών, 13. Αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικά κλάσματα και ανάλυση σε απλά κλάσματα.
3. Απλά κλάσματα. Κάθε γνήσιο κλάσμα είναι, με μοναδικό τρόπο, άθροισμα όρων $\frac{A}{(x - r)^j}$ και $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ , ενός για κάθε δύναμη κάθε παράγοντα του παρονομαστή του· με γραμμικούς παράγοντες, η ύπαρξη προκύπτει χωρίζοντας έναν όρο κάθε φορά και η μοναδικότητα απομονώνοντας σε κάθε ρίζα τη μεγαλύτερη δύναμη· με ανάγωγους τετραγωνικούς παράγοντες, και οι δύο γίνονται δεκτές.
  Χρησιμοποιεί: 2. Πρόσημο γινομένου, 11. Θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα, 10. Ταυτότητα της διαίρεσης, 23. Ισότητα κλασμάτων, 21. Παραγοντοποίηση στους πραγματικούς. Στηρίζεται σε: F (Μπεζού και μοναδική παραγοντοποίηση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αλγεβρικά κλάσματα και ανάλυση σε απλά κλάσματα.
4. Πρόσημο πολυωνύμου. Ένα γινόμενο $n$ μη μηδενικών παραγόντων είναι αρνητικό αν έχει περιττό πλήθος αρνητικών παραγόντων· επομένως, το πρόσημο ενός παραγοντοποιημένου πολυωνύμου αλλάζει όταν διασχίζουμε μια ρίζα αν και μόνο αν η πολλαπλότητά της είναι περιττή, και οι ανάγωγοι παράγοντες διατηρούν το πρόσημο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή τους.
  Χρησιμοποιεί: 2. Πρόσημο γινομένου, 14. Τύπος επίλυσης και διακρίνουσα, 19. Επαναλαμβανόμενη συνθετική διαίρεση. Στηρίζεται σε: A (Επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πίνακες προσήμων και ανισώσεις.
5. Κατακόρυφες ασύμπτωτες και αιρόμενα σημεία. Αν το $r$ μηδενίζει τον παρονομαστή του $\frac{A}{B}$ και $A(r) \neq 0$ , η ευθεία $x = r$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη· αν $A(r) = 0$ , ο κοινός παράγοντας απλοποιείται και, αν το απλοποιημένο κλάσμα ορίζεται στο $r$ , αυτό είναι αιρόμενο σημείο.
  Χρησιμοποιεί: 11. Θεωρήματα του υπολοίπου και του παράγοντα, 22. Λήμμα της απλοποίησης, 25. Πρόσημο πολυωνύμου. Στηρίζεται σε: G (Όρια και συνέχεια). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πίνακες προσήμων και ανισώσεις.
6. Ασύμπτωτες ρητής συνάρτησης. Αν $P = Q \cdot C + R$ , η διαφορά ανάμεσα στο $\frac{P}{Q}$ και στο $C$ είναι $\frac{R}{Q}$ , που τείνει στο $0$ και στα δύο άκρα: το πηλίκο $C$ είναι η οριζόντια, πλάγια ή καμπυλόγραμμη ασύμπτωτη, και ο πίνακας προσήμων αποφασίζει προς τα πού διαφεύγουν οι κλάδοι κοντά στις κατακόρυφες.
  Χρησιμοποιεί: 10. Ταυτότητα της διαίρεσης, 26. Κατακόρυφες ασύμπτωτες και αιρόμενα σημεία. Στηρίζεται σε: G (Όρια και συνέχεια). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρητές συναρτήσεις: ασύμπτωτες και γραφική παράσταση.
7. Μηδενικά και σύνολο τιμών ρητής συνάρτησης. Λόγω των ενδιάμεσων τιμών, μια ρητή συνάρτηση που αλλάζει πρόσημο σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της μηδενίζεται σε αυτό, και μια συνάρτηση που σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της παίρνει τιμές μεγαλύτερες και μικρότερες από οποιονδήποτε αριθμό παίρνει εκεί όλες τις πραγματικές τιμές· αν η εξίσωση $y \cdot Q(x) = P(x)$ είναι βαθμού $2$ , η διακρίνουσά της δίνει το σύνολο τιμών.
  Χρησιμοποιεί: 14. Τύπος επίλυσης και διακρίνουσα, 27. Ασύμπτωτες ρητής συνάρτησης. Στηρίζεται σε: G (Όρια και συνέχεια), H (Ενδιάμεσες τιμές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ρητές συναρτήσεις: ασύμπτωτες και γραφική παράσταση.
8. Πεδίο ορισμού και άκρα με ρίζες. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με ρίζες είναι η τομή των συνόλων που δίνουν οι πίνακες προσήμων των συνθηκών της· αν μια ρίζα περιττής πολλαπλότητας μηδενίζει μια υπόρριζη ποσότητα του αριθμητή, η γραφική παράσταση τελειώνει εκεί πάνω στον άξονα $x$ · αν μηδενίζεται ένας παρονομαστής με μη μηδενικό αριθμητή, υπάρχει κατακόρυφη ασύμπτωτη· και, λόγω των ενδιάμεσων τιμών, κάθε κλάδος παίρνει όλες τις τιμές που περιέχονται μεταξύ εκείνων που φτάνει ή προς τις οποίες πλησιάζει στα άκρα του.
  Χρησιμοποιεί: 25. Πρόσημο πολυωνύμου, 26. Κατακόρυφες ασύμπτωτες και αιρόμενα σημεία. Στηρίζεται σε: G (Όρια και συνέχεια), H (Ενδιάμεσες τιμές). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Συναρτήσεις με ρίζες: πεδίο ορισμού, πρόσημα, γραφική παράσταση.
9. Ασύμπτωτες με ρίζες. Επειδή $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , η ασύμπτωτη μιας συνάρτησης με ρίζες βρίσκεται χωριστά όταν $x \to \infty$ και όταν $x \to -\infty$ , και μπορεί να είναι διαφορετική σε κάθε άκρο· αν το $\frac{f(x)}{x}$ δεν τείνει σε έναν αριθμό, δεν υπάρχει ευθύγραμμη ασύμπτωτη.
  Χρησιμοποιεί: 27. Ασύμπτωτες ρητής συνάρτησης. Στηρίζεται σε: G (Όρια και συνέχεια). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Συναρτήσεις με ρίζες: πεδίο ορισμού, πρόσημα, γραφική παράσταση.

Προς την αναλυτική γεωμετρία. Η ενότητα που ακολουθεί μελετά καμπύλες του επιπέδου μέσω των εξισώσεών τους: τις ευθείες, την παραβολή, που χαρακτηρίζεται με συμπλήρωση τετραγώνου, τον κύκλο ως ένωση των γραφικών παραστάσεων των $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ και την υπερβολή $y = \frac{1}{x}$ με τις δύο ασύμπτωτές της.

Στο υπόλοιπο αυτής της διάλεξης

Η ενότητα μέσα στον κύκλο μαθημάτων
Όσα στηρίζονται στις προηγούμενες ενότητες
Ο σύνδεσμος με την αναλυτική γεωμετρία
Τελική αξιολόγηση
Προκλήσεις
Ένα υπόλοιπο τεράστιου βαθμού
Μια συνάρτηση που επιστρέφει μετά από τρεις εφαρμογές
Ένα πολυώνυμο που μετατίθεται με ένα τετράγωνο
Ένα πολυώνυμο που μιμείται ένα κλάσμα
Αθροίσματα πάνω στις ρίζες ενός κυβικού πολυωνύμου
Μια τετραγωνική ρίζα συν μια κυβική ρίζα
Ένα τηλεσκοπικό γινόμενο
Ένα κλειδί μοιρασμένο σε τρία πρόσωπα
Ένα κλάσμα εγκλωβισμένο ανάμεσα σε δύο αριθμούς
Μια ρίζα με δύο συμπεριφορές στο άπειρο

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργήστε τον δωρεάν λογαριασμό σας για να διαβάσετε ολόκληρη αυτή τη διάλεξη και τις πρώτες διαλέξεις κάθε μαθήματος, και για να αποθηκεύετε την πρόοδό σας.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση

Αποκτήστε πρόσβαση στο πλήρες μάθημα

Το υπόλοιπο αυτής της διάλεξης περιλαμβάνεται στη συνδρομή. Με τη συνδρομή αποκτάτε πρόσβαση σε όλες τις διαλέξεις κάθε μαθήματος, με τα προβλήματα και τις αποδείξεις τους.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση