Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αλγεβρικά κλάσματα και ανάλυση σε απλά κλάσματα

Περίληψη

Το μάθημα αυτό επεκτείνει στα πηλίκα πολυωνύμων τον λογισμό με αριθμητικά κλάσματα. Ορίζει τις ρητές παραστάσεις και το πεδίο ορισμού τους, αποδεικνύει ότι η απλοποίηση ενός κοινού παράγοντα είναι ισότητα μόνο στο αρχικό πεδίο ορισμού, πράγμα που εξηγεί τα σημεία που λείπουν από τις γραφικές τους παραστάσεις, και χαρακτηρίζει την ισότητα δύο κλασμάτων μέσω της αρχής της ταυτότητας των πολυωνύμων. Μελετά την πρόσθεση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών, το γινόμενο, το πηλίκο και τα σύνθετα κλάσματα, και λύνει εξισώσεις με κλάσματα και με ριζικά, με προσοχή στις λύσεις που εμφανίζονται όταν απαλείφονται παρονομαστές ή όταν υψώνουμε στο τετράγωνο. Τέλος, αποδεικνύει ότι ένα γνήσιο κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής έχει απλές ρίζες αναλύεται με μοναδικό τρόπο σε απλά κλάσματα, με συντελεστές που υπολογίζονται με κάλυψη ενός παράγοντα, επεκτείνει την ανάλυση στους επαναλαμβανόμενους παράγοντες, με δική της απόδειξη της μοναδικότητας, και στους ανάγωγους τετραγωνικούς, και την εφαρμόζει στον υπολογισμό τηλεσκοπικών αθροισμάτων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να προσδιορίζει το πεδίο ορισμού μιας ρητής παράστασης, να την απλοποιεί σωστά και να αναγνωρίζει τα σημεία που λείπουν από τη γραφική της παράσταση.
  2. Να προσθέτει, να πολλαπλασιάζει και να διαιρεί ρητές παραστάσεις και να απλοποιεί σύνθετα κλάσματα, με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.
  3. Να λύνει εξισώσεις με κλάσματα και με ριζικά, απορρίπτοντας τις εξαιρούμενες τιμές και τις λύσεις που προστίθενται με τον τετραγωνισμό.
  4. Να αναλύει ένα κλάσμα σε απλά κλάσματα, να αιτιολογεί την ανάλυση και να την εφαρμόζει σε τηλεσκοπικά αθροίσματα.

Ρητές παραστάσεις

Μια ρητή παράσταση είναι ένα πηλίκο δύο πολυωνύμων, PQ\frac{P}{Q}, με QQ μη μηδενικό. Ορίζει τη ρητή συνάρτηση που σε κάθε πραγματικό xx αντιστοιχίζει το P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}, του είδους που μελετήθηκε στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις, και το πεδίο ορισμού της αποτελείται από τους πραγματικούς που δεν μηδενίζουν τον παρονομαστή· οι υπόλοιποι λέγονται εξαιρούμενες τιμές. Επειδή ένα μη μηδενικό πολυώνυμο βαθμού nn έχει το πολύ nn ρίζες, σύμφωνα με το μάθημα για την άλγεβρα των πολυωνύμων, οι εξαιρούμενες τιμές είναι πάντοτε πεπερασμένες σε πλήθος, και για να βρεθούν παραγοντοποιείται ο παρονομαστής με τις τεχνικές του μαθήματος για τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού. Στη συνέχεια, μια ισότητα μεταξύ ρητών παραστάσεων εννοείται σε όλους τους πραγματικούς στους οποίους ορίζονται και τα δύο μέλη της, και όταν τα πεδία ορισμού των δύο μελών δεν συμπίπτουν αυτό δηλώνεται ρητά.

Η απλοποίηση

Τα αριθμητικά κλάσματα απλοποιούνται διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με έναν κοινό παράγοντα, όπως είδαμε στο μάθημα για τους ρητούς αριθμούς. Με τις ρητές παραστάσεις εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο, αλλά ο κοινός παράγοντας είναι τώρα ένα πολυώνυμο, που μπορεί να μηδενίζεται σε κάποια σημεία· από αυτό έπεται ότι το απλοποιημένο κλάσμα μπορεί να ορίζεται εκεί όπου το αρχικό δεν ορίζεται.

ΛήμμαΑπλοποίηση

Έστω PP, QQ και CC πολυώνυμα, με QQ και CC μη μηδενικά. Σε κάθε πραγματικό που δεν μηδενίζει το QCQC, το πηλίκο PCQC\frac{PC}{QC} παίρνει την ίδια τιμή με το PQ\frac{P}{Q}. Το πεδίο ορισμού του PCQC\frac{PC}{QC} είναι εκείνο του PQ\frac{P}{Q} χωρίς τις ρίζες του CC· συνεπώς, τα δύο κλάσματα είναι η ίδια συνάρτηση μόνο αν το δεύτερο περιοριστεί στο πεδίο ορισμού του πρώτου.

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

Χρησιμοποιούνται το λήμμα για το πρόσημο ενός γινομένου, από το μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις, και το λήμμα της επέκτασης, από το μάθημα για τους ρητούς αριθμούς, που ισχύει εξίσου για πραγματικούς αριθμούς. Το σχήμα παρακολουθεί την απόδειξη με P=x−3P = x - 3, Q=x−2Q = x - 2 και C=x+3C = x + 3.

Απόδειξη

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    Έστω x0x_0 ένας πραγματικός που δεν μηδενίζει το QCQC. Ένα γινόμενο πραγματικών είναι μηδέν αν και μόνο αν είναι μηδέν κάποιος από τους παράγοντές του· άρα ούτε το QQ ούτε το CC μηδενίζονται στο x0x_0.

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    Ο αριθμός c=C(x0)c = C(x_0) δεν είναι μηδέν, και σύμφωνα με το λήμμα της επέκτασης ο πολλαπλασιασμός των δύο όρων ενός κλάσματος με αυτόν δεν αλλάζει την τιμή του.

  3. D⁡(PCQC)={x∈D⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{D}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{D}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    Η ίδια ισοδυναμία περιγράφει το πεδίο ορισμού: ένας πραγματικός ανήκει σε εκείνο του PCQC\frac{PC}{QC} ακριβώς όταν ανήκει σε εκείνο του PQ\frac{P}{Q} και δεν μηδενίζει το CC.

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈D⁡(PQ)∧r∉D⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{D}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{D}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    Σε μια ρίζα rr του CC που δεν είναι ρίζα του QQ, το απλοποιημένο κλάσμα ορίζεται και το αρχικό όχι: η γραφική παράσταση του αρχικού είναι εκείνη του απλοποιημένου χωρίς αυτό το σημείο, που σχεδιάζεται ως κενός κύκλος. Στο σχήμα, r=−3r = -3.

Τι κάνει η αρχική συνάρτηση κοντά σε ένα σημείο που λείπει θα μελετηθεί στο μάθημα για τους πίνακες προσήμων και τις ανισώσεις.

Απλοποιούνται μόνο κοινοί παράγοντες, και γι’ αυτό η απλοποίηση απαιτεί να παραγοντοποιηθούν πρώτα ο αριθμητής και ο παρονομαστής: ένας κοινός προσθετέος δεν είναι παράγοντας, και η διαγραφή του οδηγεί σε σφάλμα. Έτσι, η διαγραφή του xx στο x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} θα έδινε τη σταθερή τιμή 24\frac{2}{4}, ενώ το κλάσμα ισούται με 23\frac{2}{3} για x=2x = 2 και με 35\frac{3}{5} για x=1x = 1.

ΠαράδειγμαΜια απλοποίηση και το σημείο που λείπει

Να απλοποιηθεί το κλάσμα x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} και να περιγραφεί η γραφική του παράσταση. Το σχήμα σημειώνει πάνω στην ευθεία τις εξαιρούμενες τιμές και σχεδιάζει έπειτα το απλοποιημένο κλάσμα με το σημείο που λείπει από το αρχικό.

Απόδειξη

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή, μια διαφορά τετραγώνων, και τον παρονομαστή, ένα τριώνυμο με ρίζες −3-3 και 22.

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    Οι εξαιρούμενες τιμές είναι οι ρίζες του παρονομαστή· το πεδίο ορισμού είναι η ευθεία χωρίς αυτά τα δύο σημεία.

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    Σύμφωνα με το λήμμα της απλοποίησης, ο παράγοντας x+3x + 3, που δεν μηδενίζεται στο πεδίο ορισμού, μπορεί να διαγραφεί. Το απλοποιημένο κλάσμα έχει μεγαλύτερο πεδίο ορισμού: εξαιρεί μόνο το 22.

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    Στο −3-3 το απλοποιημένο κλάσμα ισούται με 65\frac{6}{5} και το αρχικό δεν ορίζεται: η γραφική παράσταση του αρχικού είναι η καμπύλη του απλοποιημένου χωρίς το σημείο με τετμημένη −3-3.

Η ισότητα δύο κλασμάτων

Δύο αριθμητικά κλάσματα pq\frac{p}{q} και rs\frac{r}{s} είναι ίσα αν και μόνο αν ps=qrps = qr. Για τις ρητές παραστάσεις ισχύει ένα ανάλογο κριτήριο, του οποίου η απόδειξη στηρίζεται σε ένα γεγονός για τα πολυώνυμα: μια ταυτότητα που ισχύει σε όλους τους πραγματικούς εκτός από πεπερασμένο πλήθος από αυτούς ισχύει και σε αυτούς.

ΛήμμαΤαυτότητες εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων

Αν δύο πολυώνυμα παίρνουν την ίδια τιμή σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός, το πολύ, από πεπερασμένο πλήθος από αυτούς, έχουν τους ίδιους συντελεστές και παίρνουν την ίδια τιμή σε κάθε πραγματικό.

Συλλογιζόμαστε με απαγωγή σε άτοπο, με το λήμμα των διαφορετικών ριζών από το μάθημα για την άλγεβρα των πολυωνύμων. Το σχήμα σχεδιάζει τη διαφορά των δύο πολυωνύμων πάνω στον άξονα xx, με δύο εξαιρετικά σημεία.

Απόδειξη

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    Έστω AA και BB τα δύο πολυώνυμα, D=A−BD = A - B η διαφορά τους και s1,…,sms_1, \ldots, s_m οι πραγματικοί στους οποίους μπορεί να μη συμπίπτουν. Η διαφορά μηδενίζεται σε όλους τους υπόλοιπους.

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    Αν το DD δεν ήταν το μηδενικό πολυώνυμο, θα είχε έναν βαθμό kk και, σύμφωνα με το λήμμα των διαφορετικών ριζών, το πολύ kk ρίζες. Όμως ανάμεσα στους k+m+1k + m + 1 φυσικούς 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 υπάρχουν τουλάχιστον k+1k + 1, που τους ονομάζουμε t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1}, οι οποίοι δεν είναι εξαιρετικοί, και όλοι είναι ρίζες του DD: άτοπο.

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    Συνεπώς, το DD είναι το μηδενικό πολυώνυμο: οι συντελεστές του είναι όλοι μηδέν, και τα AA και BB συμπίπτουν συντελεστή προς συντελεστή, όπως στην αρχή της ταυτότητας των πολυωνύμων, και παίρνουν την ίδια τιμή σε κάθε πραγματικό, και στα s1,…,sms_1, \ldots, s_m.

ΘεώρημαΙσότητα ρητών παραστάσεων

Έστω PQ\frac{P}{Q} και RS\frac{R}{S} δύο ρητές παραστάσεις. Παίρνουν την ίδια τιμή σε κάθε πραγματικό που δεν μηδενίζει το QSQS αν και μόνο αν τα πολυώνυμα PSPS και QRQR είναι ίσα.

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

Το σχήμα παρακολουθεί την απόδειξη με τα κλάσματα x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} και x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} του προηγούμενου παραδείγματος.

Απόδειξη

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    Ας υποθέσουμε ότι τα δύο κλάσματα συμπίπτουν έξω από τις ρίζες του QSQS. Πολλαπλασιάζοντας με Q(x)S(x)Q(x) S(x) προκύπτει μια ισότητα μεταξύ των τιμών δύο πολυωνύμων, που ισχύει σε όλους τους πραγματικούς εκτός από πεπερασμένο πλήθος, επειδή το QSQS δεν είναι μηδενικό και έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών.

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    Σύμφωνα με το λήμμα των ταυτοτήτων εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων, τα PSPS και QRQR είναι το ίδιο πολυώνυμο. Στο παράδειγμα, και τα δύο γινόμενα είναι x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18.

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    Αντίστροφα, αν PS=QRPS = QR, αρκεί να διαιρέσουμε με Q(x)S(x)Q(x) S(x) στους πραγματικούς που δεν το μηδενίζουν, σύμφωνα με το λήμμα της επέκτασης.

Το θεώρημα δικαιολογεί τον έλεγχο μιας απλοποίησης με χιαστί πολλαπλασιασμό. Το λήμμα, από την πλευρά του, είναι το κλειδί της ανάλυσης σε απλά κλάσματα: επιτρέπει να εφαρμόσουμε μια ταυτότητα στις ρίζες ενός παρονομαστή, όπου τα κλάσματα από τα οποία προέρχεται δεν ορίζονται.