Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

Frações algébricas e frações parciais

Resumo

Esta aula estende aos quocientes de polinômios o cálculo com frações numéricas. Define as frações algébricas e seu domínio, demonstra que a simplificação de um fator comum só é uma igualdade sobre o domínio original, o que explica os pontos suprimidos de seus gráficos, e caracteriza a igualdade de duas frações por meio do princípio de identidade. Estuda a soma com o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o produto, o quociente e as frações compostas, e resolve equações com frações e com radicais, com atenção às soluções que aparecem ao eliminar denominadores ou ao elevar ao quadrado. Por último, demonstra que uma fração própria cujo denominador tem raízes simples se decompõe de maneira única em frações parciais, com coeficientes que se calculam cobrindo um fator, estende a decomposição aos fatores repetidos, com uma demonstração própria de sua unicidade, e aos quadráticos irredutíveis, e a aplica ao cálculo de somas telescópicas.

Objetivos de aprendizagem

  1. Determinar o domínio de uma fração algébrica, simplificá-la corretamente e reconhecer os pontos suprimidos de seu gráfico.
  2. Somar, multiplicar e dividir frações algébricas e reduzir frações compostas, com o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
  3. Resolver equações com frações e com radicais, descartando os valores excluídos e as soluções acrescentadas ao elevar ao quadrado.
  4. Decompor uma fração em frações parciais, justificar a decomposição e aplicá-la a somas telescópicas.

Frações algébricas

Uma fração algébrica é um quociente de dois polinômios, PQ\frac{P}{Q}, com QQ não nulo. Define a função racional que a cada real xx associa P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}, do tipo estudado na aula sobre as funções algébricas, e seu domínio é formado pelos reais que não anulam o denominador; os demais se chamam valores excluídos. Como um polinômio não nulo de grau nn tem no máximo nn raízes, segundo a aula sobre a álgebra dos polinômios, os valores excluídos são sempre em número finito, e para encontrá-los fatora-se o denominador com as técnicas da aula sobre as raízes de polinômios de grau superior. No que se segue, uma igualdade entre frações algébricas entende-se em todos os reais em que estão definidos seus dois membros, e quando os domínios dos dois membros não coincidem isso se indica expressamente.

A simplificação

As frações numéricas se simplificam dividindo numerador e denominador por um fator comum, como se viu na aula sobre os números racionais. Com as frações algébricas procede-se do mesmo modo, mas o fator comum é agora um polinômio, que pode se anular em alguns pontos; daí se segue que a fração simplificada pode estar definida onde a original não está.

LemaSimplificação

Sejam PP, QQ e CC polinômios, com QQ e CC não nulos. Em todo real que não anula QCQC, o quociente PCQC\frac{PC}{QC} toma o mesmo valor que PQ\frac{P}{Q}. O domínio de PCQC\frac{PC}{QC} é o de PQ\frac{P}{Q} sem as raízes de CC; portanto, as duas frações são a mesma função somente se a segunda for restrita ao domínio da primeira.

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

Usam-se o lema do sinal de um produto, da aula sobre as funções algébricas, e o lema da amplificação, da aula sobre os números racionais, que vale igualmente para números reais. A figura acompanha a demonstração com P=x−3P = x - 3, Q=x−2Q = x - 2 e C=x+3C = x + 3.

Demonstração

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    Seja x0x_0 um real que não anula QCQC. Um produto de reais é nulo se e somente se algum de seus fatores o é; donde nem QQ nem CC se anulam em x0x_0.

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    O número c=C(x0)c = C(x_0) não é nulo, e pelo lema da amplificação multiplicar os dois termos de uma fração por ele não altera seu valor.

  3. Dom⁡(PCQC)={x∈Dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    A mesma equivalência descreve o domínio: um real está no de PCQC\frac{PC}{QC} exatamente quando está no de PQ\frac{P}{Q} e não anula CC.

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈Dom⁡(PQ)∧r∉Dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    Em uma raiz rr de CC que não o seja de QQ, a fração simplificada está definida e a original não: o gráfico da original é o da simplificada com esse ponto suprimido, que se desenha como um círculo vazio. Na figura, r=−3r = -3.

O que faz a função original perto de um ponto suprimido será estudado na aula sobre quadros de sinais e inequações.

Só se simplificam fatores comuns, e por isso a simplificação exige fatorar primeiro o numerador e o denominador: uma parcela comum não é um fator, e riscá-la produz um erro. Assim, riscar o xx em x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} daria o valor constante 24\frac{2}{4}, enquanto a fração vale 23\frac{2}{3} em x=2x = 2 e 35\frac{3}{5} em x=1x = 1.

ExemploUma simplificação e seu ponto suprimido

Simplificar a fração x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} e descrever seu gráfico. A figura assinala sobre a reta os valores excluídos e desenha depois a fração simplificada com o ponto que falta à original.

Demonstração

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    Fatoramos o numerador, uma diferença de quadrados, e o denominador, um trinômio de raízes −3-3 e 22.

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    Os valores excluídos são as raízes do denominador; o domínio é a reta sem esses dois pontos.

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    Pelo lema de simplificação, o fator x+3x + 3, que não se anula no domínio, pode ser suprimido. A fração simplificada tem um domínio maior: só exclui o 22.

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    Em −3-3 a fração simplificada vale 65\frac{6}{5} e a original não está definida: o gráfico da original é a curva da simplificada sem o ponto de abscissa −3-3.

A igualdade de duas frações

Duas frações numéricas pq\frac{p}{q} e rs\frac{r}{s} são iguais se e somente se ps=qrps = qr. Para as frações algébricas vale um critério análogo, cuja demonstração repousa em um fato sobre os polinômios: uma identidade que se cumpre em todos os reais salvo um número finito deles cumpre-se também nestes.

LemaIdentidades salvo um número finito de pontos

Se dois polinômios tomam o mesmo valor em todos os números reais salvo, no máximo, um número finito deles, têm os mesmos coeficientes e tomam o mesmo valor em todo real.

Raciocina-se por redução ao absurdo com o lema das raízes distintas da aula sobre a álgebra dos polinômios. A figura desenha a diferença dos dois polinômios sobre o eixo xx, com dois pontos excepcionais.

Demonstração

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    Sejam AA e BB os dois polinômios, D=A−BD = A - B sua diferença e s1,…,sms_1, \ldots, s_m os reais em que podem não coincidir. A diferença se anula em todos os demais.

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    Se DD não fosse o polinômio nulo, teria um grau kk e, pelo lema das raízes distintas, no máximo kk raízes. Mas entre os k+m+1k + m + 1 naturais 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 há pelo menos k+1k + 1, que chamamos t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1}, que não são excepcionais, e todos são raízes de DD: é uma contradição.

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    Portanto, DD é o polinômio nulo: seus coeficientes são todos zero, e AA e BB coincidem coeficiente a coeficiente, como no princípio de identidade, e tomam o mesmo valor em todo real, também em s1,…,sms_1, \ldots, s_m.

TeoremaIgualdade de frações algébricas

Sejam PQ\frac{P}{Q} e RS\frac{R}{S} duas frações algébricas. Tomam o mesmo valor em todo real que não anula QSQS se e somente se os polinômios PSPS e QRQR são iguais.

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

A figura acompanha a demonstração com as frações x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} e x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} do exemplo anterior.

Demonstração

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    Suponhamos que as duas frações coincidam fora das raízes de QSQS. Ao multiplicar por Q(x)S(x)Q(x) S(x) obtém-se uma igualdade entre os valores de dois polinômios, válida em todos os reais salvo um número finito, porque QSQS não é nulo e tem um número finito de raízes.

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    Pelo lema das identidades salvo um número finito de pontos, PSPS e QRQR são o mesmo polinômio. No exemplo, ambos os produtos são x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18.

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    Reciprocamente, se PS=QRPS = QR, basta dividir por Q(x)S(x)Q(x) S(x) nos reais que não o anulam, pelo lema da amplificação.

O teorema justifica verificar uma simplificação multiplicando em cruz. O lema, por sua vez, é a chave da decomposição em frações parciais: permite avaliar uma identidade nas raízes de um denominador, onde as frações das quais ela procede não estão definidas.