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Topos Uranos
Português

Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética

Resumo

Esta aula estuda as raízes dos polinômios de grau maior que dois. Deduz do algoritmo da divisão a divisão sintética, ou dispositivo de Briot-Ruffini (regra de Ruffini), que divide um polinômio por x−rx - r apenas com multiplicações e somas e fornece ao mesmo tempo o valor P(r)P(r), e a relaciona com a regra de Horner. Demonstra o teorema das raízes racionais, que reduz a busca de raízes racionais de um polinômio de coeficientes inteiros a uma lista finita de candidatos, e o aplica à fatoração completa de polinômios de graus 33 e 44, com a multiplicidade das raízes e a divisão sintética repetida. Prova duas cotas para as raízes reais, a de Cauchy e a que a própria divisão sintética fornece; enuncia o teorema fundamental da álgebra e deduz dele que todo polinômio real é produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis; e obtém as relações de Girard (de Viète) da cúbica.

Objetivos de aprendizagem

  1. Dividir um polinômio por x−rx - r mediante a divisão sintética e justificar que o esquema fornece os coeficientes do quociente e o resto P(r)P(r).
  2. Encontrar as raízes racionais de um polinômio de coeficientes inteiros com o teorema das raízes racionais, e usá-lo para demonstrar que certos números são irracionais.
  3. Fatorar completamente polinômios de graus 33 e 44, determinando a multiplicidade de cada raiz e delimitando de antemão o intervalo que contém as raízes reais.
  4. Relacionar as raízes e os coeficientes de uma cúbica mediante as relações de Girard, e descrever a fatoração de um polinômio real que o teorema fundamental da álgebra assegura.
  5. Formular problemas aplicados que conduzem a uma equação polinomial de grau 33 ou 44, como a linha de flutuação de uma boia, e escolher entre suas raízes as que têm sentido no contexto.

A divisão sintética

A aula sobre a álgebra dos polinômios demonstrou o algoritmo da divisão: dados dois polinômios PP e QQ, com QQ não nulo, existem um quociente e um resto únicos. Quando o divisor é x−rx - r, o resto é uma constante, que pelo teorema do resto vale P(r)P(r); e pelo teorema do fator, rr é uma raiz de PP exatamente quando esse resto é nulo. Procurar as raízes de um polinômio de grau superior obriga, portanto, a dividir muitas vezes por divisores dessa forma. A divisão sintética, também chamada dispositivo de Briot-Ruffini, reduz cada uma dessas divisões a uma sucessão de multiplicações e somas sobre os coeficientes, sem escrever a variável.

O esquema é o seguinte. Escrevem-se numa linha os coeficientes de PP, desde a potência maior até o termo independente, incluídos os nulos, e à esquerda o número rr. Baixa-se o primeiro coeficiente; depois, repetidas vezes, multiplica-se por rr o último número obtido, escreve-se o produto sob o coeficiente seguinte e somam-se os dois. Os números da última linha, exceto o último, são os coeficientes do quociente; o último é o resto.

ExemploUma divisão sintética

Dividir P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 por x−2x - 2. O polinômio não tem termo em x2x^2, de modo que seu coeficiente, 00, deve ser escrito na linha: omiti-lo deslocaria todos os demais. Chamamos b3b_3, b2b_2, b1b_1 e b0b_0 os coeficientes do quociente, e RR o resto.

Demonstração

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    Escrevemos os coeficientes, da potência maior para a menor, incluído o 00 de x2x^2, e à esquerda o número r=2r = 2.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    Baixamos o primeiro coeficiente: é o coeficiente dominante do quociente.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    Multiplicamos por 22 o número obtido e somamos o produto ao coeficiente seguinte.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    Repetimos a operação com o número recém-obtido.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    Mais uma vez.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    A última soma dá o resto.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    O quociente tem grau 33, um a menos que o dividendo, e seus coeficientes são os da última linha; o resto é 33, que coincide com P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3, como exige o teorema do resto.

Que o esquema funcione não é uma casualidade do exemplo; o teorema seguinte o demonstra em geral, comparando coeficientes na igualdade da divisão.

TeoremaDivisão sintética

Sejam P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 um polinômio de grau n≥1n \geq 1 e rr um número real. Se se definem bn−1=anb_{n - 1} = a_n, depois bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k para kk desde n−1n - 1 até 11, e finalmente R=a0+rb0R = a_0 + r b_0, então o quociente da divisão de PP por x−rx - r é bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0, e o resto é R=P(r)R = P(r).

A demonstração compara os coeficientes dos dois membros da igualdade da divisão; a figura acompanha o caso n=3n = 3.

Demonstração

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    Pelo algoritmo da divisão, existem um quociente CC e um resto RR únicos. Como o divisor tem grau 11, o resto é uma constante e, pela regra do grau do produto, o quociente tem grau n−1n - 1; chamamos bkb_k seus coeficientes.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    Desenvolvemos o produto: cada coeficiente bkb_k aparece duas vezes, multiplicado por xx no termo de grau k+1k + 1 e multiplicado por −r-r no de grau kk.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    Pelo princípio de identidade, os coeficientes de cada potência coincidem nos dois membros da igualdade da divisão; a igualdade central vale para kk desde 11 até n−1n - 1.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    Isolamos: o primeiro coeficiente é baixado, e cada um dos seguintes, como o resto, é o coeficiente de PP mais rr vezes o número anterior. Reciprocamente, os números assim definidos cumprem as igualdades anteriores, de modo que dão uma divisão de PP por x−rx - r; pela unicidade do quociente e do resto, são exatamente os da divisão.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    Ao avaliar a igualdade da divisão em x=rx = r, a primeira parcela se anula: o último número da tabela é P(r)P(r).

A divisão sintética e a regra de Horner

A regra de Horner, demonstrada na aula sobre os sistemas de numeração posicional, calcula o valor de uma soma de potências partindo do coeficiente dominante e repetindo a operação de multiplicar pela base e somar o coeficiente seguinte. É exatamente o que faz a última linha da divisão sintética com a base rr: os números bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 são os resultados parciais da regra de Horner aplicada em x=rx = r, e a última etapa dá o valor do polinômio.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

Disso se segue que a regra de Horner oferece uma segunda demonstração do teorema do resto, e que a divisão sintética é, ao mesmo tempo, o modo mais econômico de avaliar um polinômio e de dividi-lo: avaliar em rr custa nn multiplicações e nn somas, e a mesma conta deixa escrito o quociente. Pelo teorema do fator, rr é raiz exatamente quando o último número da tabela é 00.

Para dividir por um divisor linear ax−bax - b, com a≠0a \neq 0, basta observar que ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right): divide-se por x−bax - \frac{b}{a} com a divisão sintética, e o quociente obtido divide-se por aa; o resto não muda.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R