Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n

Resumo

Esta aula deduz, completando o quadrado, a fórmula das raízes do polinômio quadrático, estuda o discriminante e as relações entre raízes e coeficientes, e obtém a fatoração $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Estende depois o método aos trinômios de grau $2n$ , da forma $a x^{2n} + b x^n + c$ , mediante a mudança de variável $u = x^n$ , e mostra que um trinômio de grau $4$ pode ser fatorado mesmo que o discriminante seja negativo.

Objetivos de aprendizagem

Deduzir a fórmula quadrática completando o quadrado e aplicá-la para fatorar.
Interpretar o discriminante e usar as relações entre as raízes e os coeficientes.
Fatorar trinômios de grau $2n$ mediante a mudança de variável $u = x^n$ e os produtos notáveis.
Reconhecer quando um polinômio quadrático é irredutível nos reais e fatorar um trinômio de grau $4$ cujo discriminante é negativo.
Formular problemas aplicados que levam a uma equação quadrática, como o voo de uma bola ou o projeto de uma horta, e interpretar no contexto suas raízes e seu discriminante.

O polinômio quadrático

Um polinômio quadrático é um polinômio de grau $2$ ; com coeficientes reais $a$ , $b$ e $c$ , e $a \neq 0$ , escreve-se assim:

P(x) = ax^2 + bx + c

Fatorá-lo é escrevê-lo como produto de dois polinômios de grau $1$ . Pelo teorema do fator, estudado na aula sobre a álgebra dos polinômios, cada raiz real $r$ fornece um fator $x - r$ ; portanto, fatorar um polinômio quadrático equivale a encontrar suas raízes. O método para encontrá-las é completar o quadrado.

TeoremaFórmula quadrática

Seja $ax^2 + bx + c$ um polinômio quadrático, com $a \neq 0$ . Para todo real $x$ vale a igualdade seguinte, chamada forma canônica; e, se $b^2 - 4ac \geq 0$ , as raízes do polinômio são exatamente os números $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

A ideia é geométrica: $x^2 + \frac{b}{a}x$ é a área de um quadrado de lado $x$ mais um retângulo de lados $x$ e $\frac{b}{a}$ . Se o retângulo é dividido em duas metades e estas são colocadas em dois lados do quadrado, falta apenas um canto para completar um quadrado maior, de lado $x + \frac{b}{2a}$ .

Demonstração

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
Como $a \neq 0$ , colocamos $a$ em evidência.
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
O quadrado de $x + \frac{b}{2a}$ contém $x^2$ , o termo $\frac{b}{a}x$ e o canto $\frac{b^2}{4a^2}$ ; subtraindo o canto, obtém-se a soma procurada.
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
Substituímos nos parênteses e reunimos os termos constantes numa única fração, porque $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ .
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Como $a \neq 0$ , o polinômio se anula exatamente quando se anula o colchete.
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
Se $b^2 - 4ac \geq 0$ , o número $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ satisfaz $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ , qualquer que seja o sinal de $a$ . Chamando $u$ a expressão $x + \frac{b}{2a}$ , pela diferença de quadrados a equação é $(u - w)(u + w) = 0$ ; e um produto de reais é zero somente se algum fator o é, pelo lema do sinal de um produto da aula sobre as funções algébricas. Daí, a equação equivale exatamente a $u = w$ ou $u = -w$ : não se perde nem se acrescenta nenhuma raiz.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Isolamos $x$ : é a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara).