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Topos Uranos
Español

Fracciones algebraicas y fracciones parciales

Resumen

Esta clase extiende a los cocientes de polinomios el cálculo con fracciones numéricas. Define las fracciones algebraicas y su dominio, demuestra que la simplificación de un factor común solo es una igualdad sobre el dominio original, lo que explica los puntos suprimidos de sus gráficos, y caracteriza la igualdad de dos fracciones mediante el principio de identidad. Estudia la suma con el mínimo común múltiplo de los denominadores, el producto, el cociente y las fracciones compuestas, y resuelve ecuaciones con fracciones y con radicales, con atención a las soluciones que aparecen al eliminar denominadores o al elevar al cuadrado. Por último, demuestra que una fracción propia cuyo denominador tiene raíces simples se descompone de manera única en fracciones parciales, con coeficientes que se calculan cubriendo un factor, extiende la descomposición a los factores repetidos, con una demostración propia de su unicidad, y a los cuadráticos irreducibles, y la aplica al cálculo de sumas telescópicas.

Objetivos de aprendizaje

  1. Determinar el dominio de una fracción algebraica, simplificarla correctamente y reconocer los puntos suprimidos de su gráfico.
  2. Sumar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas y reducir fracciones compuestas, con el mínimo común múltiplo de los denominadores.
  3. Resolver ecuaciones con fracciones y con radicales, descartando los valores excluidos y las soluciones añadidas al elevar al cuadrado.
  4. Descomponer una fracción en fracciones parciales, justificar la descomposición y aplicarla a sumas telescópicas.

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es un cociente de dos polinomios, PQ\frac{P}{Q}, con QQ no nulo. Define la función racional que a cada real xx le asigna P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}, del tipo estudiado en la clase sobre las funciones algebraicas, y su dominio está formado por los reales que no anulan el denominador; los demás se llaman valores excluidos. Como un polinomio no nulo de grado nn tiene a lo sumo nn raíces, según la clase sobre el álgebra de polinomios, los valores excluidos son siempre un número finito, y para hallarlos se factoriza el denominador con las técnicas de la clase sobre las raíces de polinomios de grado superior. En lo que sigue, una igualdad entre fracciones algebraicas se entiende en todos los reales en que están definidos sus dos miembros, y cuando los dominios de ambos miembros no coinciden se indica expresamente.

La simplificación

Las fracciones numéricas se simplifican dividiendo numerador y denominador por un factor común, como se vio en la clase sobre los números racionales. Con las fracciones algebraicas se procede del mismo modo, pero el factor común es ahora un polinomio, que puede anularse en algunos puntos; de ello se sigue que la fracción simplificada puede estar definida donde la original no lo está.

LemaSimplificación

Sean PP, QQ y CC polinomios, con QQ y CC no nulos. En todo real que no anula a QCQC, el cociente PCQC\frac{PC}{QC} toma el mismo valor que PQ\frac{P}{Q}. El dominio de PCQC\frac{PC}{QC} es el de PQ\frac{P}{Q} sin las raíces de CC; por tanto, ambas fracciones son la misma función solo si se restringe la segunda al dominio de la primera.

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

Se usan el lema del signo de un producto y el lema de la ampliación de la clase sobre los números racionales, que vale igual para números reales. La figura sigue la demostración con P=x−3P = x - 3, Q=x−2Q = x - 2 y C=x+3C = x + 3.

Demostración

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    Sea x0x_0 un real que no anula a QCQC. Un producto de reales es nulo si y solo si lo es alguno de sus factores; de donde ni QQ ni CC se anulan en x0x_0.

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    El número c=C(x0)c = C(x_0) no es nulo, y por el lema de la ampliación multiplicar los dos términos de una fracción por él no cambia su valor.

  3. Dom⁡(PCQC)={x∈Dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    La misma equivalencia describe el dominio: un real está en el de PCQC\frac{PC}{QC} exactamente cuando está en el de PQ\frac{P}{Q} y no anula a CC.

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈Dom⁡(PQ)∧r∉Dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    En una raíz rr de CC que no lo sea de QQ, la fracción simplificada está definida y la original no: el gráfico de la original es el de la simplificada con ese punto suprimido, que se dibuja como un círculo vacío. En la figura, r=−3r = -3.

Qué hace la función original cerca de un punto suprimido se estudiará en la clase sobre tablas de signos e inecuaciones.

Solo se simplifican factores comunes, y por eso la simplificación exige factorizar primero el numerador y el denominador: un sumando común no es un factor, y tacharlo produce un error. Así, tachar la xx en x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} daría el valor constante 24\frac{2}{4}, mientras que la fracción vale 23\frac{2}{3} en x=2x = 2 y 35\frac{3}{5} en x=1x = 1.

EjemploUna simplificación y su punto suprimido

Simplificar la fracción x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} y describir su gráfico. La figura señala sobre la recta los valores excluidos y dibuja después la fracción simplificada con el punto que le falta a la original.

Demostración

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    Factorizamos el numerador, una diferencia de cuadrados, y el denominador, un trinomio de raíces −3-3 y 22.

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    Los valores excluidos son las raíces del denominador; el dominio es la recta sin esos dos puntos.

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    Por el lema de simplificación, el factor x+3x + 3, que no se anula en el dominio, puede suprimirse. La fracción simplificada tiene un dominio mayor: solo excluye el 22.

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    En −3-3 la fracción simplificada vale 65\frac{6}{5} y la original no está definida: el gráfico de la original es la curva de la simplificada sin el punto de abscisa −3-3.

La igualdad de dos fracciones

Dos fracciones numéricas pq\frac{p}{q} y rs\frac{r}{s} son iguales si y solo si ps=qrps = qr. Para las fracciones algebraicas vale un criterio análogo, cuya demostración descansa en un hecho sobre los polinomios: una identidad que se cumple en todos los reales salvo un número finito de ellos se cumple también en estos.

LemaIdentidades salvo un número finito de puntos

Si dos polinomios toman el mismo valor en todos los números reales salvo, a lo sumo, un número finito de ellos, tienen los mismos coeficientes y toman el mismo valor en todo real.

Se razona por reducción al absurdo con el lema de las raíces distintas de la clase sobre el álgebra de polinomios. La figura dibuja la diferencia de los dos polinomios sobre el eje xx, con dos puntos excepcionales.

Demostración

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    Sean AA y BB los dos polinomios, D=A−BD = A - B su diferencia y s1,…,sms_1, \ldots, s_m los reales en que pueden no coincidir. La diferencia se anula en todos los demás.

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    Si DD no fuera el polinomio nulo, tendría un grado kk y, por el lema de las raíces distintas, a lo sumo kk raíces. Pero entre los k+m+1k + m + 1 naturales 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 hay al menos k+1k + 1, que llamamos t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1}, que no son excepcionales, y todos son raíces de DD: es una contradicción.

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    Por tanto, DD es el polinomio nulo: sus coeficientes son todos cero, y AA y BB coinciden coeficiente a coeficiente, como en el principio de identidad, y toman el mismo valor en todo real, también en s1,…,sms_1, \ldots, s_m.

TeoremaIgualdad de fracciones algebraicas

Sean PQ\frac{P}{Q} y RS\frac{R}{S} dos fracciones algebraicas. Toman el mismo valor en todo real que no anula a QSQS si y solo si los polinomios PSPS y QRQR son iguales.

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

La figura sigue la demostración con las fracciones x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} y x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} del ejemplo anterior.

Demostración

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    Supongamos que las dos fracciones coinciden fuera de las raíces de QSQS. Al multiplicar por Q(x)S(x)Q(x) S(x) se obtiene una igualdad entre los valores de dos polinomios, válida en todos los reales salvo un número finito, porque QSQS no es nulo y tiene un número finito de raíces.

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    Por el lema de las identidades salvo un número finito de puntos, PSPS y QRQR son el mismo polinomio. En el ejemplo, ambos productos son x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18.

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    Recíprocamente, si PS=QRPS = QR, basta dividir entre Q(x)S(x)Q(x) S(x) en los reales que no lo anulan, por el lema de la ampliación.

El teorema justifica comprobar una simplificación multiplicando en cruz. El lema, por su parte, es la clave de la descomposición en fracciones parciales: permite evaluar una identidad en las raíces de un denominador, donde las fracciones de las que procede no están definidas.