분수식과 부분분수

증명

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   $$\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}$$

   $x_0$을 식 $QC$를 영으로 만들지 않는 실수라 하자. 실수의 곱이 영이 될 필요충분조건은 어느 한 인수가 영인 것이다. 그러므로 식 $Q$도 식 $C$도 점 $x_0$에서 영이 되지 않는다.

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   $$\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0$$

   수 $c = C(x_0)$은 영이 아니며, 확분에 관한 보조정리에 의해 분수의 두 항에 이 수를 곱해도 값은 변하지 않는다.

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   $$\operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}$$

   같은 동치 관계가 정의역을 기술한다. 어떤 실수가 식 $\frac{PC}{QC}$의 정의역에 속할 필요충분조건은 그것이 식 $\frac{P}{Q}$의 정의역에 속하고 식 $C$를 영으로 만들지 않는 것이다.

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   $$C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}$$

   근 $r$(식 $C$의 근이면서 식 $Q$의 근이 아닌 것)에서 약분한 분수식은 정의되지만 원래의 분수식은 정의되지 않는다. 원래 분수식의 그래프는 약분한 분수식의 그래프에서 그 점을 뺀 것이며, 그 점은 빈 원으로 그린다. 그림에서는 $r = -3$이다.

증명

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   $$\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}$$

   $A$와 $B$를 두 다항식, $D = A - B$을 그 차, $s_1, \ldots, s_m$을 두 다항식이 일치하지 않을 수도 있는 실수라 하자. 차는 나머지 모든 실수에서 영이 된다.

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   $$t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}$$

   만약 다항식 $D$가 영다항식이 아니라면, 어떤 차수 $k$를 가지며, 서로 다른 근에 관한 보조정리에 의해 근은 많아야 $k$개이다. 그런데 $k + m + 1$개의 자연수 $1, 2, \ldots, k + m + 1$ 가운데 예외점이 아닌 것이 적어도 $k + 1$개 있고(이것들을 $t_1, \ldots, t_{k + 1}$이라 하자), 이것들은 모두 다항식 $D$의 근이다. 이는 모순이다.

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   $$\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}$$

   따라서 다항식 $D$는 영다항식이다. 그 계수는 모두 영이며, 다항식 $A$와 다항식 $B$는 항등식의 성질에서처럼 계수마다 일치하고, 모든 실수에서 같은 값을 가진다. 점 $s_1, \ldots, s_m$에서도 마찬가지이다.