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Topos Uranos
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Frazioni algebriche e fratti semplici

Riepilogo

Questa lezione estende ai quozienti di polinomi il calcolo con le frazioni numeriche. Definisce le frazioni algebriche e il loro dominio, dimostra che la semplificazione di un fattore comune è un’uguaglianza solo sul dominio originale, il che spiega i punti rimossi dei loro grafici, e caratterizza l’uguaglianza di due frazioni mediante il principio d’identità dei polinomi. Studia la somma con il minimo comune multiplo dei denominatori, il prodotto, il quoziente e le frazioni composte, e risolve equazioni con frazioni e con radicali, con attenzione alle soluzioni che compaiono quando si eliminano i denominatori o si eleva al quadrato. Infine, dimostra che una frazione propria il cui denominatore ha radici semplici si decompone in modo unico in fratti semplici, con coefficienti che si calcolano coprendo un fattore, estende la decomposizione ai fattori ripetuti, con una dimostrazione propria della sua unicità, e ai fattori quadratici irriducibili, e la applica al calcolo di somme telescopiche.

Obiettivi di apprendimento

  1. Determinare il dominio di una frazione algebrica, semplificarla correttamente e riconoscere i punti rimossi del suo grafico.
  2. Sommare, moltiplicare e dividere frazioni algebriche e ridurre frazioni composte, con il minimo comune multiplo dei denominatori.
  3. Risolvere equazioni con frazioni e con radicali, scartando i valori esclusi e le soluzioni aggiunte elevando al quadrato.
  4. Decomporre una frazione in fratti semplici, giustificare la decomposizione e applicarla a somme telescopiche.

Frazioni algebriche

Una frazione algebrica è un quoziente di due polinomi, PQ\frac{P}{Q}, con QQ non nullo. Definisce la funzione razionale che a ogni reale xx associa P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}, del tipo studiato nella lezione sulle funzioni algebriche, e il suo dominio è formato dai reali che non annullano il denominatore; gli altri si chiamano valori esclusi. Poiché un polinomio non nullo di grado nn ha al più nn radici, secondo la lezione sull’algebra dei polinomi, i valori esclusi sono sempre in numero finito, e per trovarli si scompone il denominatore con le tecniche della lezione sulle radici dei polinomi di grado superiore. In ciò che segue, un’uguaglianza tra frazioni algebriche si intende in tutti i reali in cui sono definiti i suoi due membri, e quando i domini dei due membri non coincidono lo si indica espressamente.

La semplificazione

Le frazioni numeriche si semplificano dividendo numeratore e denominatore per un fattore comune, come si è visto nella lezione sui numeri razionali. Con le frazioni algebriche si procede allo stesso modo, ma il fattore comune è ora un polinomio, che può annullarsi in alcuni punti; ne segue che la frazione semplificata può essere definita dove l’originale non lo è.

LemmaSemplificazione

Siano PP, QQ e CC polinomi, con QQ e CC non nulli. In ogni reale che non annulla QCQC, il quoziente PCQC\frac{PC}{QC} assume lo stesso valore di PQ\frac{P}{Q}. Il dominio di PCQC\frac{PC}{QC} è quello di PQ\frac{P}{Q} privato delle radici di CC; pertanto, le due frazioni sono la stessa funzione solo se si restringe la seconda al dominio della prima.

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

Si usano il lemma del segno di un prodotto, della lezione sulle funzioni algebriche, e il lemma dell’amplificazione, della lezione sui numeri razionali, che vale allo stesso modo per i numeri reali. La figura segue la dimostrazione con P=x−3P = x - 3, Q=x−2Q = x - 2 e C=x+3C = x + 3.

Dimostrazione

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    Sia x0x_0 un reale che non annulla QCQC. Un prodotto di reali è nullo se e solo se lo è qualcuno dei suoi fattori; quindi né QQ né CC si annullano in x0x_0.

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    Il numero c=C(x0)c = C(x_0) non è nullo, e per il lemma dell’amplificazione moltiplicare per esso i due termini di una frazione non ne cambia il valore.

  3. Dom⁡(PCQC)={x∈Dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    La stessa equivalenza descrive il dominio: un reale sta in quello di PCQC\frac{PC}{QC} esattamente quando sta in quello di PQ\frac{P}{Q} e non annulla CC.

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈Dom⁡(PQ)∧r∉Dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    In una radice rr di CC che non lo sia di QQ, la frazione semplificata è definita e l’originale no: il grafico dell’originale è quello della semplificata con quel punto rimosso, che si disegna come un pallino vuoto. Nella figura, r=−3r = -3.

Che cosa fa la funzione originale vicino a un punto rimosso si studierà nella lezione su tabelle dei segni e disequazioni.

Si semplificano solo fattori comuni, e per questo la semplificazione richiede di scomporre prima il numeratore e il denominatore: un addendo comune non è un fattore, e cancellarlo produce un errore. Così, cancellare la xx in x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} darebbe il valore costante 24\frac{2}{4}, mentre la frazione vale 23\frac{2}{3} in x=2x = 2 e 35\frac{3}{5} in x=1x = 1.

EsempioUna semplificazione e il suo punto rimosso

Semplificare la frazione x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} e descriverne il grafico. La figura indica sulla retta i valori esclusi e disegna poi la frazione semplificata con il punto che manca all’originale.

Dimostrazione

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    Scomponiamo il numeratore, una differenza di quadrati, e il denominatore, un trinomio di radici −3-3 e 22.

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    I valori esclusi sono le radici del denominatore; il dominio è la retta privata di quei due punti.

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    Per il lemma di semplificazione, il fattore x+3x + 3, che non si annulla nel dominio, si può eliminare. La frazione semplificata ha un dominio più ampio: esclude solo il 22.

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    In −3-3 la frazione semplificata vale 65\frac{6}{5} e l’originale non è definita: il grafico dell’originale è la curva della semplificata senza il punto di ascissa −3-3.

L’uguaglianza di due frazioni

Due frazioni numeriche pq\frac{p}{q} e rs\frac{r}{s} sono uguali se e solo se ps=qrps = qr. Per le frazioni algebriche vale un criterio analogo, la cui dimostrazione poggia su un fatto relativo ai polinomi: un’identità che vale in tutti i reali salvo un numero finito di essi vale anche in questi.

LemmaIdentità salvo un numero finito di punti

Se due polinomi assumono lo stesso valore in tutti i numeri reali salvo, al più, un numero finito di essi, hanno gli stessi coefficienti e assumono lo stesso valore in ogni reale.

Si ragiona per assurdo con il lemma delle radici distinte della lezione sull’algebra dei polinomi. La figura disegna la differenza dei due polinomi sopra l’asse xx, con due punti eccezionali.

Dimostrazione

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    Siano AA e BB i due polinomi, D=A−BD = A - B la loro differenza e s1,…,sms_1, \ldots, s_m i reali in cui possono non coincidere. La differenza si annulla in tutti gli altri.

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    Se DD non fosse il polinomio nullo, avrebbe un grado kk e, per il lemma delle radici distinte, al più kk radici. Ma tra i k+m+1k + m + 1 naturali 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 ce ne sono almeno k+1k + 1, che chiamiamo t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1}, che non sono eccezionali, e tutti sono radici di DD: è una contraddizione.

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    Pertanto DD è il polinomio nullo: i suoi coefficienti sono tutti zero, e AA e BB coincidono coefficiente per coefficiente, come nel principio d’identità dei polinomi, e assumono lo stesso valore in ogni reale, anche in s1,…,sms_1, \ldots, s_m.

TeoremaUguaglianza di frazioni algebriche

Siano PQ\frac{P}{Q} e RS\frac{R}{S} due frazioni algebriche. Assumono lo stesso valore in ogni reale che non annulla QSQS se e solo se i polinomi PSPS e QRQR sono uguali.

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

La figura segue la dimostrazione con le frazioni x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} e x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} dell’esempio precedente.

Dimostrazione

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    Supponiamo che le due frazioni coincidano fuori dalle radici di QSQS. Moltiplicando per Q(x)S(x)Q(x) S(x) si ottiene un’uguaglianza tra i valori di due polinomi, valida in tutti i reali salvo un numero finito, perché QSQS non è nullo e ha un numero finito di radici.

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    Per il lemma delle identità salvo un numero finito di punti, PSPS e QRQR sono lo stesso polinomio. Nell’esempio, entrambi i prodotti sono x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18.

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    Viceversa, se PS=QRPS = QR, basta dividere per Q(x)S(x)Q(x) S(x) nei reali che non lo annullano, per il lemma dell’amplificazione.

Il teorema giustifica il controllo di una semplificazione moltiplicando in croce. Il lemma, a sua volta, è la chiave della decomposizione in fratti semplici: permette di valutare un’identità nelle radici di un denominatore, dove le frazioni da cui proviene non sono definite.