الكسور الجبرية والكسور الجزئية

البرهان

1. 1
   $$\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}$$

   ليكن $x_0$ عددًا حقيقيًا لا يعدم $QC$. يكون جداء أعداد حقيقية منعدمًا إذا وفقط إذا انعدم أحد عوامله؛ ومن ثمّ فلا $Q$ ولا $C$ تنعدم عند $x_0$.

2. 2
   $$\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0$$

   العدد $c = C(x_0)$ غير منعدم، وبحسب توطئة التوسيع فإن ضرب حدّي الكسر فيه لا يغيّر قيمته.

3. 3
   $$\operatorname{D}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{D}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}$$

   التكافؤ نفسه يصف مجال التعريف: ينتمي عدد حقيقي إلى مجال تعريف $\frac{PC}{QC}$ تمامًا عندما ينتمي إلى مجال تعريف $\frac{P}{Q}$ ولا يعدم $C$.

4. 4
   $$C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{D}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{D}\left( \frac{PC}{QC} \right)}$$

   عند جذر $r$ لـ$C$ ليس جذرًا لـ$Q$، يكون الكسر المختزل معرَّفًا والكسر الأصلي غير معرَّف: التمثيل البياني للأصلي هو تمثيل المختزل محذوفةً منه تلك النقطة، التي تُرسم دائرةً فارغة. وفي الرسم، $r = -3$.

البرهان

1. 1
   $$\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}$$

   لتكن $A$ و$B$ كثيرتي الحدود، و$D = A - B$ فرقهما، و$s_1, \ldots, s_m$ الأعداد الحقيقية التي قد لا تتطابقان عندها. ينعدم الفرق عند جميع الأعداد الأخرى.

2. 2
   $$t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}$$

   لو لم تكن $D$ كثيرة الحدود المنعدمة، لكانت لها درجة $k$، ولكان عدد جذورها، بحسب توطئة الجذور المختلفة، لا يتجاوز $k$. لكن بين الأعداد الطبيعية التي عددها $k + m + 1$، وهي $1, 2, \ldots, k + m + 1$، يوجد على الأقل $k + 1$ منها، نسميها $t_1, \ldots, t_{k + 1}$، ليست استثنائية، وكلها جذور لـ$D$: وهذا تناقض.

3. 3
   $$\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}$$

   إذن $D$ هي كثيرة الحدود المنعدمة: معاملاتها كلها أصفار، و$A$ و$B$ تتطابقان معاملًا بمعامل، كما في مبدأ تطابق كثيرات الحدود، وتأخذان القيمة نفسها عند كل عدد حقيقي، وكذلك عند $s_1, \ldots, s_m$.