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Topos Uranos
Français

Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples

Résumé

Cette leçon étend aux quotients de polynômes le calcul sur les fractions numériques. Elle définit les fractions rationnelles et leur ensemble de définition, démontre que la simplification d’un facteur commun n’est une égalité que sur l’ensemble de définition initial, ce qui explique les points supprimés de leurs courbes, et caractérise l’égalité de deux fractions au moyen du principe d’identification. Elle étudie la somme avec le plus petit commun multiple des dénominateurs, le produit, le quotient et les fractions composées, et résout des équations avec des fractions et avec des radicaux, en prêtant attention aux solutions qui apparaissent lorsqu’on élimine les dénominateurs ou qu’on élève au carré. Enfin, elle démontre qu’une fraction propre dont le dénominateur a des racines simples se décompose de manière unique en éléments simples, avec des coefficients qui se calculent en masquant un facteur, étend la décomposition aux facteurs répétés, avec une démonstration propre de son unicité, et aux facteurs du second degré irréductibles, et l’applique au calcul de sommes télescopiques.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déterminer l’ensemble de définition d’une fraction rationnelle, la simplifier correctement et reconnaître les points supprimés de sa courbe.
  2. Additionner, multiplier et diviser des fractions rationnelles et réduire des fractions composées, avec le plus petit commun multiple des dénominateurs.
  3. Résoudre des équations avec des fractions et avec des radicaux, en écartant les valeurs interdites et les solutions ajoutées par l’élévation au carré.
  4. Décomposer une fraction en éléments simples, justifier la décomposition et l’appliquer à des sommes télescopiques.

Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes, PQ\frac{P}{Q}, avec QQ non nul. Elle définit la fonction rationnelle qui à chaque réel xx associe P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}, du type étudié dans la leçon sur les fonctions algébriques, et son ensemble de définition est formé des réels qui n’annulent pas le dénominateur ; les autres s’appellent valeurs interdites. Comme un polynôme non nul de degré nn a au plus nn racines, d’après la leçon sur l’algèbre des polynômes, les valeurs interdites sont toujours en nombre fini, et pour les trouver on factorise le dénominateur avec les techniques de la leçon sur les racines des polynômes de degré supérieur. Dans ce qui suit, une égalité entre fractions rationnelles s’entend en tous les réels où ses deux membres sont définis, et lorsque les ensembles de définition des deux membres ne coïncident pas, on l’indique expressément.

La simplification

Les fractions numériques se simplifient en divisant le numérateur et le dénominateur par un facteur commun, comme on l’a vu dans la leçon sur les nombres rationnels. Avec les fractions rationnelles, on procède de la même manière, mais le facteur commun est désormais un polynôme, qui peut s’annuler en certains points ; il s’ensuit que la fraction simplifiée peut être définie là où la fraction initiale ne l’est pas.

LemmeSimplification

Soient PP, QQ et CC des polynômes, avec QQ et CC non nuls. En tout réel qui n’annule pas QCQC, le quotient PCQC\frac{PC}{QC} prend la même valeur que PQ\frac{P}{Q}. L’ensemble de définition de PCQC\frac{PC}{QC} est celui de PQ\frac{P}{Q} privé des racines de CC ; par conséquent, les deux fractions ne sont la même fonction que si l’on restreint la seconde à l’ensemble de définition de la première.

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

On utilise le lemme du signe d’un produit, de la leçon sur les fonctions algébriques, et le lemme d’amplification, de la leçon sur les nombres rationnels, qui vaut de même pour les nombres réels. La figure suit la démonstration avec P=x−3P = x - 3, Q=x−2Q = x - 2 et C=x+3C = x + 3.

Démonstration

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    Soit x0x_0 un réel qui n’annule pas QCQC. Un produit de réels est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est ; donc ni QQ ni CC ne s’annulent en x0x_0.

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    Le nombre c=C(x0)c = C(x_0) n’est pas nul, et, par le lemme d’amplification, multiplier par lui les deux termes d’une fraction ne change pas sa valeur.

  3. Dom⁡(PCQC)={x∈Dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    La même équivalence décrit l’ensemble de définition : un réel appartient à celui de PCQC\frac{PC}{QC} exactement lorsqu’il appartient à celui de PQ\frac{P}{Q} et n’annule pas CC.

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈Dom⁡(PQ)∧r∉Dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{Dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{Dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    En une racine rr de CC qui n’en est pas une de QQ, la fraction simplifiée est définie et la fraction initiale ne l’est pas : la courbe de la fraction initiale est celle de la fraction simplifiée privée de ce point supprimé, que l’on dessine comme un cercle vide. Sur la figure, r=−3r = -3.

Ce que fait la fonction initiale près d’un point supprimé sera étudié dans la leçon sur les tableaux de signes et les inéquations.

On ne simplifie que des facteurs communs, et c’est pourquoi la simplification exige de factoriser d’abord le numérateur et le dénominateur : un terme commun d’une somme n’est pas un facteur, et le barrer produit une erreur. Ainsi, barrer le xx dans x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} donnerait la valeur constante 24\frac{2}{4}, alors que la fraction vaut 23\frac{2}{3} en x=2x = 2 et 35\frac{3}{5} en x=1x = 1.

ExempleUne simplification et son point supprimé

Simplifier la fraction x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} et décrire sa courbe. La figure marque sur la droite les valeurs interdites, puis dessine la fraction simplifiée avec le point qui manque à la fraction initiale.

Démonstration

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    Nous factorisons le numérateur, une différence de deux carrés, et le dénominateur, un trinôme de racines −3-3 et 22.

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    Les valeurs interdites sont les racines du dénominateur ; l’ensemble de définition est la droite privée de ces deux points.

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    Par le lemme de simplification, le facteur x+3x + 3, qui ne s’annule pas sur l’ensemble de définition, peut être supprimé. La fraction simplifiée a un ensemble de définition plus grand : elle n’exclut que le 22.

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    En −3-3 la fraction simplifiée vaut 65\frac{6}{5} et la fraction initiale n’est pas définie : la courbe de la fraction initiale est celle de la fraction simplifiée privée du point d’abscisse −3-3.

L’égalité de deux fractions

Deux fractions numériques pq\frac{p}{q} et rs\frac{r}{s} sont égales si et seulement si ps=qrps = qr. Pour les fractions rationnelles vaut un critère analogue, dont la démonstration repose sur un fait concernant les polynômes : une identité qui est vérifiée en tous les réels sauf un nombre fini d’entre eux est vérifiée aussi en ceux-ci.

LemmeIdentités sauf en un nombre fini de points

Si deux polynômes prennent la même valeur en tous les nombres réels sauf, au plus, un nombre fini d’entre eux, ils ont les mêmes coefficients et prennent la même valeur en tout réel.

On raisonne par l’absurde avec le lemme des racines distinctes de la leçon sur l’algèbre des polynômes. La figure dessine la différence des deux polynômes au-dessus de l’axe des xx, avec deux points exceptionnels.

Démonstration

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    Soient AA et BB les deux polynômes, D=A−BD = A - B leur différence et s1,…,sms_1, \ldots, s_m les réels en lesquels ils peuvent ne pas coïncider. La différence s’annule en tous les autres.

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    Si DD n’était pas le polynôme nul, il aurait un degré kk et, par le lemme des racines distinctes, au plus kk racines. Or, parmi les k+m+1k + m + 1 entiers naturels 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1, il y en a au moins k+1k + 1, que nous appelons t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1}, qui ne sont pas exceptionnels, et tous sont des racines de DD : c’est une contradiction.

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    Par conséquent, DD est le polynôme nul : ses coefficients sont tous nuls, et AA et BB coïncident coefficient par coefficient, comme dans le principe d’identification, et prennent la même valeur en tout réel, y compris en s1,…,sms_1, \ldots, s_m.

ThéorèmeÉgalité de fractions rationnelles

Soient PQ\frac{P}{Q} et RS\frac{R}{S} deux fractions rationnelles. Elles prennent la même valeur en tout réel qui n’annule pas QSQS si et seulement si les polynômes PSPS et QRQR sont égaux.

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

La figure suit la démonstration avec les fractions x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} et x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} de l’exemple précédent.

Démonstration

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    Supposons que les deux fractions coïncident en dehors des racines de QSQS. En multipliant par Q(x)S(x)Q(x) S(x), nous obtenons une égalité entre les valeurs de deux polynômes, valable en tous les réels sauf un nombre fini, car QSQS n’est pas nul et a un nombre fini de racines.

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    Par le lemme des identités sauf en un nombre fini de points, PSPS et QRQR sont le même polynôme. Dans l’exemple, les deux produits valent x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18.

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    Réciproquement, si PS=QRPS = QR, il suffit de diviser par Q(x)S(x)Q(x) S(x) aux réels qui ne l’annulent pas, par le lemme d’amplification.

Le théorème justifie que l’on vérifie une simplification en faisant les produits en croix. Le lemme, quant à lui, est la clé de la décomposition en éléments simples : il permet d’évaluer une identité aux racines d’un dénominateur, là où les fractions dont elle provient ne sont pas définies.