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Topos Uranos
中文 (中国)

分式与部分分式

摘要

本课把分数的运算推广到多项式的商。它定义分式及其定义域，证明约去公因式只在原定义域上才是等式，这解释了分式图像中挖去的点，并借助多项式恒等原理刻画两个分式的相等。它研究用分母的最小公倍式进行的加法、积、商和繁分式，并求解含分式和根式的方程，注意去分母或平方时出现的解。最后，它证明分母只有单根的真分式可以唯一地分解为部分分式，其系数通过遮盖一个因式求得；再把分解推广到重复因式（并对其唯一性给出专门的证明）和不可约二次因式，并把它应用于裂项求和。

学习目标

  1. 求分式的定义域，正确地约分，并识别其图像中挖去的点。
  2. 借助分母的最小公倍式进行分式的加法、乘法和除法，并化简繁分式。
  3. 求解含分式和根式的方程，舍去需排除的值以及平方时增加的解。
  4. 把分式分解为部分分式，论证这种分解，并把它应用于裂项求和。

分式

分式是两个多项式的商 PQ\frac{P}{Q}，其中 QQ 不为零。它定义一个有理函数，对每个实数 xx 指定值 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}，属于在关于代数函数的课中研究过的类型；它的定义域由不使分母为零的实数组成，其余的实数称为需排除的值。由于次数为 nn 的非零多项式至多有 nn 个根（根据关于多项式的代数的课），需排除的值总是只有有限个；为了求出它们，要用关于高次多项式的根的课中的方法把分母因式分解。下文中，分式之间的等式理解为在其两边都有定义的所有实数处成立；当两边的定义域不一致时，会明确指出。

约分

分数的约分是把分子和分母同时除以一个公因数，如关于有理数的课中所见。分式也按同样的方式处理，但公因式现在是一个多项式，它可能在某些点处为零；由此可知，约分后的分式可能在原分式没有定义的地方有定义。

引理约分

设 PP、QQ 和 CC 是多项式，QQ 和 CC 不为零。在每个不使 QCQC 为零的实数处，商 PCQC\frac{PC}{QC} 与 PQ\frac{P}{Q} 取相同的值。PCQC\frac{PC}{QC} 的定义域是 PQ\frac{P}{Q} 的定义域去掉 CC 的根；因此，只有把后者限制在前者的定义域上，两个分式才是同一个函数。

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

这里用到关于代数函数的课中的积的符号引理，以及关于有理数的课中的扩分引理（它对实数同样成立）。图以 P=x−3P = x - 3、Q=x−2Q = x - 2 和 C=x+3C = x + 3 演示证明。

证明

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    设 x0x_0 是不使 QCQC 为零的实数。实数之积为零当且仅当某个因数为零；因此 QQ 和 CC 在 x0x_0 处都不为零。

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    数 c=C(x0)c = C(x_0) 不为零，由扩分引理，把分数的分子和分母同乘以它不改变分数的值。

  3. dom⁡(PCQC)={x∈dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    同一个等价关系描述了定义域：一个实数属于 PCQC\frac{PC}{QC} 的定义域，恰当它属于 PQ\frac{P}{Q} 的定义域且不使 CC 为零。

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈dom⁡(PQ)∧r∉dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    在根 rr（属于 CC 而不属于 QQ）处，约分后的分式有定义而原分式没有定义：原分式的图像就是约分后分式的图像去掉这一点，该点画成空心圆圈。图中 r=−3r = -3。

原函数在挖去的点附近的表现，将在关于符号表与不等式的课中研究。

只有公共的因式才能约去，因此约分要求先把分子和分母因式分解：公共的加项不是因式，把它划去会导致错误。例如，划去 xx（在 x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} 中）会得到常数值 24\frac{2}{4}，而该分式的值为 23\frac{2}{3}（在 x=2x = 2 处）和 35\frac{3}{5}（在 x=1x = 1 处）。

例题一次约分及其挖去的点

把分式 x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} 约分，并描述它的图像。图先在直线上标出需排除的值，然后画出约分后的分式以及原分式所缺的那一点。

证明

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    把分子（平方差）和分母（根为 −3-3 和 22 的三项式）因式分解。

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    需排除的值是分母的根；定义域是直线去掉这两点。

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    由约分引理，因式 x+3x + 3 在定义域内不为零，可以约去。约分后的分式定义域更大：它只排除 22。

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    在 −3-3 处，约分后的分式的值为 65\frac{6}{5}，而原分式没有定义：原分式的图像是约分后分式的曲线去掉横坐标为 −3-3 的点。

两个分式的相等

两个分数 pq\frac{p}{q} 和 rs\frac{r}{s} 相等当且仅当 ps=qrps = qr。对于分式有类似的判别法，其证明依赖于关于多项式的一个事实：一个在除有限个实数以外的所有实数处成立的恒等式，在这有限个实数处也成立。

引理除有限个点外成立的恒等式

如果两个多项式在除至多有限个实数以外的所有实数处取相同的值，那么它们有相同的系数，并且在每个实数处取相同的值。

借助关于多项式的代数的课中的不同根引理，用反证法推理。图在 xx 轴上方画出两个多项式之差，并标出两个例外点。

证明

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    设 AA 和 BB 是这两个多项式，D=A−BD = A - B 是它们的差，s1,…,sms_1, \ldots, s_m 是它们可能不相等的实数。差在其余所有实数处为零。

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    如果 DD 不是零多项式，它就有某个次数 kk，并且由不同根引理，至多有 kk 个根。但在 k+m+1k + m + 1 个自然数 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 中，至少有 k+1k + 1 个（记作 t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1}）不是例外点，而它们都是 DD 的根：这是矛盾。

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    因此，DD 是零多项式：它的系数全为零，AA 和 BB 逐个系数相等，正如多项式恒等原理所说，并且在每个实数处取相同的值，在 s1,…,sms_1, \ldots, s_m 处也是如此。

定理分式的相等

设 PQ\frac{P}{Q} 和 RS\frac{R}{S} 是两个分式。它们在每个不使 QSQS 为零的实数处取相同的值，当且仅当多项式 PSPS 和 QRQR 相等。

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

图用上一个例子中的分式 x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} 和 x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} 演示证明。

证明

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    假设两个分式在 QSQS 的根以外相等。乘以 Q(x)S(x)Q(x) S(x)，就得到两个多项式的值之间的等式，它在除有限个实数以外的所有实数处成立，因为 QSQS 不为零，只有有限个根。

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    由除有限个点外成立的恒等式引理，PSPS 和 QRQR 是同一个多项式。在例子中，两个积都等于 x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18。

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    反过来，若 PS=QRPS = QR，只需除以 Q(x)S(x)Q(x) S(x)（在不使它为零的实数处），依据扩分引理。

这个定理为用交叉相乘来检验约分提供了依据。而这个引理是部分分式分解的关键：它允许把分母的根代入恒等式，尽管恒等式所由来的分式在这些根处没有定义。