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Topos Uranos
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고차 다항식의 근과 조립제법

요약

이 수업은 차수가 2보다 큰 다항식의 근을 공부한다. 다항식의 나눗셈 정리로부터 조립제법, 곧 루피니 방법을 이끌어 낸다. 이것은 곱셈과 덧셈만으로 다항식을 x−rx - r로 나누고 동시에 값 P(r)P(r)을 주는 방법이며, 호너의 방법과의 관계도 보인다. 유리근 정리를 증명한다. 이 정리는 정수 계수 다항식의 유리근 찾기를 유한한 후보 목록으로 줄여 주며, 이를 차수가 33과 44인 다항식의 완전한 인수분해에, 근의 중복도와 반복된 조립제법과 함께 적용한다. 실근에 대한 두 한계, 곧 코시 한계와 조립제법 자체가 주는 한계를 증명한다. 대수학의 기본 정리를 진술하고, 이로부터 모든 실계수 다항식이 일차 인수와 기약 이차 인수의 곱임을 이끌어 낸다. 끝으로 삼차식의 근과 계수의 관계를 얻는다.

학습 목표

  1. 조립제법으로 다항식을 x−rx - r로 나누고, 이 셈법이 몫의 계수와 나머지 P(r)P(r)을 준다는 것을 정당화할 수 있다.
  2. 유리근 정리로 정수 계수 다항식의 유리근을 구하고, 이를 이용하여 어떤 수들이 무리수임을 증명할 수 있다.
  3. 차수가 33과 44인 다항식을 완전히 인수분해하면서, 각 근의 중복도를 정하고 실근을 포함하는 구간을 미리 한정할 수 있다.
  4. 근과 계수의 관계로 삼차식의 근과 계수를 연결하고, 대수학의 기본 정리가 보장하는 실계수 다항식의 인수분해를 설명할 수 있다.
  5. 부표의 흘수선처럼 차수가 33 또는 44인 다항방정식으로 이어지는 응용 문제를 세우고, 그 근 가운데 상황에 맞는 의미를 가진 것을 고를 수 있다.

조립제법

다항식의 대수에 관한 수업은 다항식의 나눗셈 정리를 증명하였다: 두 다항식 PP와 QQ(단, QQ는 영이 아니다)가 주어지면, 몫과 나머지가 하나씩만 존재한다. 나누는 식이 x−rx - r일 때, 나머지는 상수이고, 나머지정리에 의해 그 값은 P(r)P(r)이다. 또 인수정리에 의해, rr이 PP의 근인 것은 바로 이 나머지가 영일 때이다. 따라서 고차 다항식의 근을 찾으려면 이런 꼴의 나누는 식으로 여러 번 나누어야 한다. 조립제법은 루피니 방법이라고도 하며, 이러한 나눗셈 하나하나를 변수를 쓰지 않고 계수에 대한 곱셈과 덧셈의 연속으로 바꾼다.

셈법은 이렇다. PP의 계수를 가장 큰 거듭제곱부터 상수항까지, 영인 계수도 포함하여 한 줄에 쓰고, 왼쪽에 수 rr을 쓴다. 첫 계수를 내려 쓴다. 그런 뒤 거듭하여, 마지막으로 얻은 수에 rr을 곱하고, 그 곱을 뒤의 계수 아래에 쓰고 둘을 더한다. 마지막 줄의 수 가운데 마지막 것을 뺀 나머지는 몫의 계수이고, 마지막 것은 나머지이다.

예시조립제법의 한 예

P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3을 x−2x - 2로 나누어라. 이 다항식에는 x2x^2의 항이 없으므로, 그 계수 00을 줄에 써야 한다: 빠뜨리면 다른 계수가 모두 밀린다. 몫의 계수를 b3b_3, b2b_2, b1b_1, b0b_0이라 하고, 나머지를 RR라 하자.

증명

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    가장 큰 거듭제곱부터 가장 작은 거듭제곱까지 계수를 쓰되, 00(x2x^2의 계수)도 포함하고, 왼쪽에 수 r=2r = 2을 쓴다.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    첫 계수를 내려 쓴다: 이것이 몫의 최고차항의 계수이다.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    얻은 수에 22를 곱하고, 그 곱을 뒤의 계수에 더한다.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    방금 얻은 수로 같은 연산을 되풀이한다.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    한 번 더.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    마지막 덧셈이 나머지를 준다.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    몫의 차수는 33이고, 이는 나누어지는 식의 차수보다 하나 작으며, 그 계수는 마지막 줄의 수이다. 나머지는 33이며, 나머지정리가 요구하는 대로 P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3과 일치한다.

이 셈법이 통하는 것은 예의 우연이 아니다. 아래의 정리는 나눗셈 등식에서 계수를 비교하여 이를 일반적으로 증명한다.

정리조립제법

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0을 차수가 n≥1n \geq 1인 다항식, rr을 실수라 하자. bn−1=anb_{n - 1} = a_n로 두고, 이어서 bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k(단, kk는 n−1n - 1부터 11까지)로 두고, 끝으로 R=a0+rb0R = a_0 + r b_0로 두면, PP를 x−rx - r로 나눈 몫은 bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0이고, 나머지는 R=P(r)R = P(r)이다.

증명은 나눗셈 등식의 양변의 계수를 비교한다. 그림은 n=3n = 3인 경우를 따라간다.

증명

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    다항식의 나눗셈 정리에 의해, 몫 CC와 나머지 RR이 하나씩만 존재한다. 나누는 식의 차수가 11이므로 나머지는 상수이고, 곱의 차수 규칙에 의해 몫의 차수는 n−1n - 1이다. 그 계수를 bkb_k라 하자.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    곱을 전개한다: 각 계수 bkb_k는 두 번 나타나는데, 한 번은 xx가 곱해져 차수 k+1k + 1의 항에, 또 한 번은 −r-r이 곱해져 차수 kk의 항에 나타난다.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    항등식의 성질에 의해, 나눗셈 등식의 양변에서 각 거듭제곱의 계수는 같다. 가운데 등식은 kk가 11부터 n−1n - 1까지일 때 성립한다.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    풀어 보면: 첫 계수는 내려 쓰고, 그 뒤의 각 수는, 나머지와 마찬가지로, PP의 계수에 rr과 바로 앞의 수의 곱을 더한 것이다. 거꾸로, 이렇게 정한 수들은 위의 등식들을 만족하므로 PP를 x−rx - r로 나누는 하나의 나눗셈을 준다. 몫과 나머지의 유일성에 의해, 그 수들은 바로 이 나눗셈의 수들이다.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    나눗셈 등식에 x=rx = r을 대입하면 첫째 항이 영이 된다: 표의 마지막 수는 P(r)P(r)이다.

조립제법과 호너의 방법

호너의 방법은 위치적 기수법에 관한 수업에서 증명한 것으로, 최고차항의 계수에서 출발하여 “밑을 곱하고 뒤의 계수를 더하는” 연산을 되풀이하여 거듭제곱의 합의 값을 계산한다. 조립제법의 마지막 줄이 밑 rr로 하는 일이 바로 이것이다: 수 bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0은 x=rx = r에서 적용한 호너의 방법의 중간 결과이고, 마지막 연산이 다항식의 값을 준다.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

이로부터 호너의 방법이 나머지정리의 두 번째 증명을 주며, 조립제법은 다항식의 값을 구하는 일과 다항식을 나누는 일을 동시에 하는 가장 경제적인 방법이라는 것이 따라 나온다: rr에서 값을 구하는 데에는 nn번의 곱셈과 nn번의 덧셈이 들고, 같은 계산으로 몫까지 적힌다. 인수정리에 의해, rr이 근인 것은 바로 표의 마지막 수가 00일 때이다.

일차의 나누는 식 ax−bax - b(단, a≠0a \neq 0)로 나누려면 ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right)임에 주목하면 된다: 조립제법으로 x−bax - \frac{b}{a}로 나누고, 얻은 몫을 aa로 나눈다. 나머지는 바뀌지 않는다.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R