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Topos Uranos
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Quadros de sinais e inequações

Resumo

Esta aula ensina a determinar o sinal de um polinômio e de um quociente de polinômios a partir de sua fatoração, organizando a análise em um quadro de sinais. Estuda o papel da multiplicidade das raízes e dos fatores quadráticos irredutíveis, distingue, entre os zeros do denominador, as assíntotas verticais dos pontos removíveis, com uma primeira ideia intuitiva de limite, e aplica o método à resolução de inequações polinomiais e racionais, estritas e não estritas, e à determinação de domínios de funções com quocientes e raízes, incluídas as raízes aninhadas. É a primeira de três aulas dedicadas ao domínio, ao conjunto imagem e ao gráfico das funções algébricas.

Objetivos de aprendizagem

  1. Construir o quadro de sinais de um polinômio fatorado, considerando a multiplicidade de cada raiz e os fatores quadráticos irredutíveis.
  2. Determinar o sinal de um quociente de polinômios e reconhecer, entre os zeros do denominador, as assíntotas verticais e os pontos removíveis.
  3. Resolver inequações polinomiais e racionais, estritas e não estritas, sem multiplicar por expressões de sinal desconhecido.
  4. Determinar o domínio de funções com quocientes e raízes, incluídas as raízes aninhadas, por meio de quadros de sinais.
  5. Traduzir em inequações problemas aplicados, como a duração de uma viagem, o efeito de um medicamento ou o desenho de uma embalagem, e resolvê-las com quadros de sinais.

O sinal de um polinômio

Muitas perguntas sobre uma função se reduzem a saber onde uma expressão é positiva, negativa ou nula: o domínio de uma raiz quadrada exige um radicando não negativo, uma inequação pergunta onde uma expressão é positiva, e o gráfico de uma função está acima do eixo xx exatamente onde a função é positiva. O instrumento que responde a essa pergunta é o quadro de sinais, e sua matéria-prima é a fatoração estudada na aula sobre a fatoração do polinômio quadrático.

O sinal de um fator linear

Um fator linear ax+bax + b, com a≠0a \neq 0, anula-se apenas em x=−bax = -\frac{b}{a} e tem sinal constante de cada lado desse ponto. Se a>0a > 0, é negativo à esquerda e positivo à direita; se a<0a < 0, ao contrário. Por exemplo, x−3x - 3 é positivo exatamente quando x>3x > 3, e 2−x2 - x exatamente quando x<2x < 2:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
LemaSinal de um fator linear

Seja ax+bax + b um polinômio de grau 11, com raiz r=−bar = -\frac{b}{a}. Se a>0a > 0, então ax+bax + b é positivo exatamente quando x>rx > r e negativo exatamente quando x<rx < r; se a<0a < 0, é positivo exatamente quando x<rx < r e negativo exatamente quando x>rx > r.

Usam-se as regras para operar com desigualdades, demonstradas na aula sobre a reta real, e o lema do sinal de um produto da aula sobre as funções algébricas.

Demonstração

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Colocamos aa em evidência: o fator linear é aa vezes a diferença x−rx - r, que é positiva exatamente quando x>rx > r, nula em rr e negativa exatamente quando x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    Pelo lema do sinal de um produto, a(x−r)a(x - r) é positivo exatamente quando aa e x−rx - r têm o mesmo sinal. Se a>0a > 0, isso ocorre exatamente quando x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Se a<0a < 0, o produto é positivo exatamente quando x−rx - r é negativo, isto é, quando x<rx < r; e em ambos os casos o produto é negativo exatamente quando os sinais são opostos.

O quadro de sinais de um produto

Suponhamos que um polinômio esteja escrito como produto de fatores lineares. Os números em que algum fator se anula chamam-se pontos críticos; ordenados do menor para o maior, dividem a reta real em intervalos abertos. Ora, cada um desses intervalos fica inteiramente de um mesmo lado da raiz de cada fator, de modo que, pelo lema do sinal de um fator linear, nenhum fator muda de sinal dentro dele; daí se segue que o produto também tem sinal constante em cada intervalo. Esse sinal é dado pela regra dos sinais, que estende a nn fatores o lema do sinal de um produto de dois fatores, demonstrado na aula sobre as funções algébricas. A extensão demonstra-se por indução, como na aula sobre somatórios, progressões e indução.

LemaRegra dos sinais

Um produto de nn fatores reais não nulos é diferente de zero; é negativo se o número de seus fatores negativos é ímpar, e positivo se é par.

Sejam c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n números reais não nulos e Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n seu produto. Raciocina-se por indução sobre o número nn de fatores. A figura mostra os fatores em uma fileira e, abaixo de cada um, o sinal do produto acumulado até ele.

Demonstração

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    Pelo lema do sinal de um produto de dois fatores, o produto de um real não nulo pp por um real não nulo cc não é nulo; se cc é positivo, tem o sinal de pp, e se cc é negativo, o sinal contrário.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Caso inicial: se n=1n = 1, o produto é o próprio fator, que é negativo exatamente quando há um fator negativo, e 11 é ímpar.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Hipótese de indução: Πn\Pi_n é negativo se o número knk_n de seus fatores negativos é ímpar, e positivo se é par. Acrescentamos mais um fator.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Se cn+1c_{n + 1} é positivo, o sinal do produto não muda, e o número de fatores negativos não muda: a regra vale para n+1n + 1 fatores.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Se cn+1c_{n + 1} é negativo, o sinal se inverte e o número de fatores negativos aumenta em um, o que muda sua paridade. A regra também vale e, pelo princípio de indução, vale para todo nn.

O quadro de sinais organiza esse raciocínio. Suas colunas são os intervalos determinados pelos pontos críticos; tem uma linha para cada fator e uma última linha para o produto, que se obtém coluna a coluna com a regra dos sinais. Em cada ponto crítico anota-se um 00 nas linhas dos fatores que se anulam, e também na do produto.

ExemploO quadro de sinais de um produto

Determinar o sinal do polinômio P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) em cada ponto da reta real.

Demonstração

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    Os pontos críticos são as raízes dos três fatores. Dividem a reta em quatro intervalos, que são as colunas do quadro.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    O fator x+2x + 2 anula-se em −2-2; é negativo à esquerda desse ponto e positivo à direita.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    O fator x−1x - 1 muda de sinal em 11.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    O fator x−3x - 3 muda de sinal em 33.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    Em cada coluna contamos os fatores negativos: três, dois, um e nenhum. O produto é negativo quando seu número é ímpar.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    Nas demais colunas o produto é positivo, e anula-se nos três pontos críticos. O gráfico o confirma: a curva está acima do eixo exatamente nesses intervalos, e o cruza em cada ponto crítico.

Multiplicidade e fatores irredutíveis

Nem todo polinômio se decompõe em fatores lineares distintos. Como se viu na aula sobre as raízes dos polinômios de grau superior, rr é uma raiz de multiplicidade kk quando o polinômio é (x−r)k(x - r)^k vezes outro polinômio que não se anula em rr, e essa multiplicidade se determina com a divisão sintética repetida; no quadro, o fator correspondente é (x−r)k(x - r)^k. Por outro lado, pelo teorema do sinal do discriminante, demonstrado na aula sobre a fatoração do polinômio quadrático, um fator quadrático ax2+bx+cax^2 + bx + c com discriminante negativo é irredutível e não tem raízes reais. A proposição seguinte diz que papel desempenha cada um no quadro.

ProposiçãoSinal e multiplicidade

O sinal de um polinômio fatorado muda ao atravessar um ponto crítico se e somente se a multiplicidade dessa raiz é ímpar. Os fatores quadráticos irredutíveis têm sinal constante, o de seu coeficiente dominante, e podem ser suprimidos de uma inequação quando são positivos, porque dividir por um número positivo conserva a desigualdade.

Seja rr uma raiz de multiplicidade kk do polinômio PP. A figura acompanha a demonstração com r=1r = 1 e o cofator x+2x + 2, e no final com o fator irredutível x2+x+1x^2 + x + 1.

Demonstração

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Escrevemos PP separando o fator de rr. Entre rr e o ponto crítico de CC mais próximo, nenhum fator de CC se anula, e pela regra dos sinais CC tem sinal constante de ambos os lados de rr.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Se kk é par, (x−r)k(x - r)^k é o quadrado de um número não nulo de ambos os lados de rr, e é positivo: PP tem ali o sinal de CC, que não muda.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Se kk é ímpar, (x−r)k(x - r)^k é x−rx - r vezes um quadrado positivo, e tem o sinal de x−rx - r, que muda em rr: pela regra dos sinais, PP muda de sinal ao atravessar rr.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Se b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, na forma canônica o colchete é um quadrado mais um número positivo: o fator tem sempre o sinal de aa, não fornece pontos críticos e, se a>0a > 0, dividir por ele conserva o sentido de uma desigualdade.

ExemploUma raiz dupla e um fator irredutível

Determinar onde é positivo e onde é não negativo o polinômio Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1).

Demonstração

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    Os pontos críticos são −1-1, raiz dupla, e 22. O fator quadrático não fornece nenhum, porque seu discriminante é negativo.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    O fator (x+1)2(x + 1)^2 é um quadrado: anula-se em −1-1 e é positivo de ambos os lados.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    O fator 2−x2 - x tem coeficiente dominante negativo: é positivo à esquerda de 22.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    O fator irredutível é positivo em todas as colunas, como mostra a forma canônica.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    Com a regra dos sinais obtém-se a linha de QQ: o sinal não muda em −1-1, raiz de multiplicidade par, e muda em 22. A desigualdade não estrita inclui os dois zeros.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    A desigualdade estrita exclui os zeros de QQ, também o de −1-1, embora de ambos os lados dele o polinômio seja positivo.