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Topos Uranos
Português

Funções racionais: assíntotas e gráfico

Resumo

Uma função racional é o quociente de dois polinômios. Esta aula ensina a estudá-la e a esboçar seu gráfico com dois instrumentos algébricos: o quadro de sinais e a divisão de polinômios. Os zeros do denominador fixam o domínio e dão, conforme o numerador se anule ou não neles, pontos removíveis ou assíntotas verticais, junto às quais o quadro de sinais decide para onde escapa a curva. A divisão escreve a função como um polinômio mais uma fração que tende a zero, e esse polinômio é a assíntota horizontal, oblíqua ou curvilínea da qual o gráfico se aproxima quando a variável tende ao infinito. Com as interseções com os eixos completa-se o esboço, e o conjunto imagem obtém-se isolando a variável quando é possível ou, caso contrário, a partir do comportamento dos ramos.

Objetivos de aprendizagem

  1. Determinar o domínio de uma função racional e distinguir, entre os zeros do denominador, os pontos removíveis das assíntotas verticais.
  2. Descrever o comportamento de uma função racional de cada lado de uma assíntota vertical por meio de seu quadro de sinais.
  3. Obter, por meio da divisão de polinômios, a assíntota horizontal, oblíqua ou curvilínea de uma função racional e a posição do gráfico em relação a ela.
  4. Esboçar o gráfico de uma função racional e determinar seu conjunto imagem, com exatidão quando a equação y=f(x)y = f(x) pode ser resolvida e, caso contrário, na medida em que seus ramos o permitem.
  5. Modelar com funções racionais situações aplicadas, como a potência que uma bateria fornece, o custo médio de uma produção ou a concentração de uma mistura, e interpretar no contexto suas assíntotas e seu conjunto imagem.

Funções racionais e seu domínio

Na aula sobre as funções algébricas chamou-se racional toda função que é quociente de dois polinômios, com um denominador que não é o polinômio nulo:

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Seu domínio é formado pelos reais que não anulam o denominador. Encontrá-lo exige, portanto, encontrar as raízes de QQ, e para isso servem a fórmula quadrática e as técnicas da aula sobre a fatoração do polinômio quadrático, junto com os teoremas do resto e do fator da aula sobre a álgebra dos polinômios. Todo o estudo de uma função racional começa, em consequência, pela fatoração de seu denominador.

Ora, nem todos os zeros do denominador desempenham o mesmo papel. Como se viu na aula sobre quadros de sinais e inequações, se um número rr anula ao mesmo tempo QQ e PP, pelo teorema do fator ambos os polinômios são divisíveis por x−rx - r, e o fator comum se cancela em todos os pontos do domínio. Se o denominador da fração simplificada já não se anula em rr, o número rr é um ponto removível: o gráfico de ff é o da fração simplificada com um único ponto suprimido, e a função estaria definida em rr se lhe fosse atribuído o valor da fração simplificada. Se, pelo contrário, depois de cancelar todos os fatores comuns o número rr continua anulando o denominador, a reta x=rx = r é uma assíntota vertical, como se precisa a seguir. Por isso convém simplificar a fração antes de estudá-la, sem esquecer que os números cancelados continuam fora do domínio.