Funções com radicais: domínio, sinais e gráfico

Resumo

Esta aula estende às funções com radicais o método dos quadros de sinais e da divisão de polinômios: determina seu domínio quando há raízes no numerador e no denominador, estuda seu sinal e seu comportamento nos extremos do domínio, onde o gráfico termina num ponto ou se aproxima de uma assíntota vertical, e encontra suas assíntotas para valores grandes da variável, tirando de cada raiz a maior potência de $x$ , com atenção aos casos de $x$ positivo e de $x$ negativo. Termina com o conjunto imagem, que se determina exatamente quando os limites nos extremos o permitem, e com a análise completa de funções cujo radicando é um trinômio de grau $8$ .

Objetivos de aprendizagem

Determinar o domínio de uma função com radicais no numerador e no denominador por meio de quadros de sinais e da fatoração de trinômios de grau $2n$ .
Estudar o sinal de uma função com radicais e seu comportamento nos extremos do domínio, distinguindo os extremos em que o gráfico termina das assíntotas verticais.
Encontrar as assíntotas de uma função com radicais quando $x$ tende a $\infty$ e a $-\infty$ , tratando separadamente os valores positivos e negativos da variável.
Traçar o gráfico de uma função com radicais e determinar seu conjunto imagem quando a análise o permite, reconhecendo os casos que exigem as técnicas do cálculo diferencial.
Analisar funções com radicais que descrevem grandezas aplicadas, como a diferença das distâncias a duas antenas ou o fator de Lorentz da relatividade, e interpretar no contexto seu domínio, suas assíntotas e seu conjunto imagem.

O domínio de uma função com radicais

Na aula sobre as funções algébricas foram estabelecidas as regras que fixam o domínio de uma função definida por uma fórmula: nenhum denominador pode valer zero, e o radicando de uma raiz de índice par não pode ser negativo. Quando a raiz está num denominador, ambas as regras atuam ao mesmo tempo, e seu radicando deve ser estritamente positivo; quando está no numerador, basta que seja não negativo. As raízes de índice ímpar não impõem condição alguma, salvo a de não se anularem se estiverem num denominador.

Se os radicandos são polinômios de grau maior que $1$ , cada condição é uma inequação polinomial, que se resolve fatorando e construindo um quadro de sinais, como na aula sobre quadros de sinais e inequações. Os fatores quadráticos se obtêm com a fórmula quadrática, e os trinômios da forma $a x^{2n} + b x^n + c$ se reduzem a quadráticos com a mudança de variável $u = x^n$ , como na aula sobre a fatoração do polinômio quadrático. Um fator quadrático de discriminante negativo conserva sempre o sinal de seu coeficiente dominante, de modo que não fornece pontos críticos e pode ser retirado do quadro.

O domínio de uma função com radicais se obtém reunindo todas as condições ao mesmo tempo: radicando não negativo para cada raiz de índice par do numerador, radicando positivo para cada raiz de índice par de um denominador, e denominadores diferentes de zero. Cada condição se resolve com um quadro de sinais, e o domínio é a interseção dos conjuntos obtidos.