Funções algébricas e polinômios: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre as funções algébricas e os polinômios. Reúne em uma só cadeia dedutiva o que foi demonstrado em suas nove aulas, desde o conceito de função e o algoritmo da divisão até a análise completa das funções racionais e das funções com radicais; mostra como a unidade se apoia nos números naturais e nos conjuntos numéricos das unidades anteriores, aponta com honestidade os resultados que foram admitidos sem demonstração e explica como se liga à geometria analítica do plano. Termina com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas propostos da unidade, que exigem combinar várias aulas e encontrar uma ideia.

Objetivos de aprendizagem

Reconstruir a cadeia de definições e teoremas da unidade, explicando que resultado se apoia em qual.
Relacionar os teoremas sobre polinômios com seus análogos sobre números inteiros estudados nas unidades anteriores.
Distinguir os resultados demonstrados na unidade daqueles que foram admitidos e serão demonstrados em outros cursos.
Resolver problemas que combinam várias aulas da unidade e exigem uma ideia não mecânica, entre eles a formulação de uma situação concreta por meio de polinômios.

O que a unidade alcançou

As funções e suas operações

A unidade começou com o conceito de função: uma regra que associa a cada elemento do domínio exatamente uma imagem. Na aula sobre as funções algébricas fixaram-se as regras que determinam o domínio de uma fórmula, demonstrou-se o lema do sinal de um produto, base de todo o estudo posterior dos sinais, e as funções foram classificadas em polinomiais, racionais, irracionais e transcendentes; que a classificação, que se refere às funções e não às suas fórmulas, não é vazia mostrou-o a demonstração de que $\frac{1}{x}$ não coincide com nenhum polinômio, e a aula sobre a álgebra dos polinômios provou depois que $\sqrt{x}$ não é uma função racional. A aula sobre as operações com funções tratou as funções reais como objetos. Da aula sobre conjuntos, relações e funções da primeira unidade herdou a associatividade da composição e o teorema segundo o qual uma função tem inversa se e somente se é bijetora; acrescentou o que é próprio das funções reais: o domínio de uma composição, com o qual a composição continua sendo associativa, mas não comutativa; que uma função estritamente monótona é bijetora sobre seu conjunto imagem e tem inversa monótona, o que permite inverter por restrição as funções que não são injetoras; que o gráfico da inversa é o reflexo em relação à reta $y = x$ ; e que toda função de domínio simétrico é, de uma única maneira, soma de uma função par e de uma ímpar.

Os polinômios e sua fatoração

O centro da unidade é a teoria dos polinômios, que se desenvolve como uma cadeia de teoremas, cada um apoiado no anterior.

O algoritmo da divisão, demonstrado na aula sobre a álgebra dos polinômios, dá um quociente e um resto únicos. Com divisor $x - r$ , o resto é $P(r)$ (teorema do resto), e daí o teorema do fator: $r$ é raiz se e somente se $x - r$ divide $P$ .
Aplicado a várias raízes, o teorema do fator dá o lema das raízes distintas: um polinômio não nulo de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes. Dele se deduz o princípio de identidade: dois polinômios definem a mesma função se e somente se têm os mesmos coeficientes. Como até esse momento os polinômios foram tratados por meio de seus coeficientes, a ordem não é circular; e desde então cada polinômio se identifica com sua função, podem-se comparar coeficientes, dois polinômios que coincidem em infinitos pontos são iguais e prova-se que a raiz quadrada não é uma função racional.
Para encontrar as raízes, a aula sobre a fatoração do polinômio quadrático completou quadrados e obteve a fórmula quadrática, o discriminante e as relações de Girard (de Viète); a aula sobre as raízes de polinômios de grau superior acrescentou a divisão sintética, o teorema das raízes racionais, a multiplicidade e as cotas das raízes.
Admitido o teorema fundamental da álgebra, e com o teorema das raízes conjugadas, demonstrou-se a fatoração nos reais: todo polinômio real é seu coeficiente dominante vezes fatores $x - r$ e vezes fatores quadráticos irredutíveis.

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

Do quociente ao gráfico

Com a fatoração em mãos, a segunda metade da unidade estudou os quocientes. A aula sobre as frações algébricas mostrou que simplificar um fator comum só é uma igualdade no domínio original, caracterizou a igualdade de duas frações e demonstrou a existência e a unicidade da decomposição em frações parciais quando o denominador só tem fatores lineares: com fatores distintos, os coeficientes se obtêm avaliando nas raízes uma identidade que, pelo princípio de identidade, vale também onde as frações não estão definidas; com fatores repetidos, a unicidade exige isolar em cada raiz o termo de maior potência. A aula sobre quadros de sinais e inequações estendeu a regra dos sinais a $n$ fatores e leu na fatoração o sinal de um polinômio ou de um quociente: o sinal muda ao atravessar uma raiz de multiplicidade ímpar, conserva-se em uma de multiplicidade par, e os fatores irredutíveis não contam. Daí se seguiram a resolução de inequações e de domínios e a distinção entre assíntotas verticais e pontos removíveis.

As duas últimas aulas reuniram todos os instrumentos. Na aula sobre as funções racionais, a divisão escreve $\frac{P}{Q}$ como um polinômio $C$ mais uma fração própria que tende a zero, e $C$ é a assíntota horizontal, oblíqua ou curvilínea; o quadro de sinais decide para onde escapam os ramos, e o discriminante da equação $y \cdot Q(x) = P(x)$ dá o conjunto imagem quando essa equação é de grau $2$ . Na aula sobre as funções com radicais, a igualdade $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ obriga a tratar separadamente os valores grandes positivos e negativos da variável, e uma mesma função pode ter duas assíntotas distintas.

O que se admitiu

A unidade foi explícita sobre o que não demonstrou. Admitiu-se o teorema fundamental da álgebra, cujas demonstrações exigem ferramentas da análise. Usaram-se com um sentido intuitivo as setas dos limites, com que se descrevem as assíntotas e o comportamento de uma função perto de um ponto ou no infinito: o que se demonstrou foi o sinal da função de cada lado e a decomposição que separa a assíntota, e o que se descreveu, a própria aproximação. Admitiu-se que as funções racionais e as funções com radicais são contínuas em cada intervalo de seu domínio, e, em sua forma geral, o teorema do valor intermediário: uma função contínua em um intervalo $\icc{a}{b}$ assume todo valor compreendido entre $f(a)$ e $f(b)$ , e em particular se anula se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, que é o teorema de Bolzano; com ele localizaram-se zeros que a álgebra não alcança e calcularam-se conjuntos imagem. Admitiram-se a existência e a unicidade da decomposição em frações parciais quando há fatores quadráticos irredutíveis, que exigem a identidade de Bézout entre polinômios, e a unicidade da fatoração nos reais, da qual depende que o mínimo múltiplo comum de vários polinômios esteja determinado a menos de um fator constante. Por último, admitiu-se que toda função definida por uma expressão algébrica satisfaz uma equação polinomial em $x$ e $y$ , fato do qual não depende nenhum outro resultado. E ficaram em aberto os máximos e os mínimos que não se revelam por uma transformação algébrica. Os limites, a continuidade, o valor intermediário, os extremos e a integração das frações parciais estudam-se nos cursos de Cálculo I e Cálculo II; o teorema fundamental da álgebra, por sua vez, demonstra-se em um curso de análise complexa.

A figura seguinte reúne os três trechos em uma só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos anteriores que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam. Todos eles se admitem ou provêm das unidades anteriores, e por isso são desenhados como anéis: os resultados que a unidade demonstra e reutiliza, como o lema do sinal de um produto ou o teorema do fator, figuram como elos, unidos por arcos aos que os usam. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AIndução. Uma propriedade que se verifica em um caso inicial e passa de cada caso ao seguinte, ou de todos os anteriores ao seguinte, verifica-se sempre; demonstrado na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BLema de Euclides. Se um primo divide um produto de inteiros, divide algum dos fatores; daí se segue que, se um inteiro divide um produto e é primo com um dos fatores, divide o outro; demonstrado na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CComposição e inversa. A composição de funções é associativa e conserva a injetividade, e uma função tem inversa se e somente se é bijetora, e essa inversa é única; demonstrado na aula sobre conjuntos, relações e funções. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DRaízes conjugadas. Se um número complexo é raiz de um polinômio de coeficientes reais, também o é seu conjugado; demonstrado na unidade sobre os conjuntos numéricos. Admitido sem demonstração nesta unidade.
ETeorema fundamental da álgebra. Todo polinômio de grau $n \geq 1$ com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz complexa; admite-se sem demonstração. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FBézout e fatoração única. Se dois polinômios não têm fatores comuns de grau positivo, existem polinômios $U$ e $V$ com $U A + V B = 1$ ; e a fatoração de um polinômio real em fatores lineares e quadráticos irredutíveis é única a menos da ordem; admitem-se, porque o curso não desenvolve o máximo divisor comum de polinômios. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GLimites e continuidade. As setas $x \to r$ e $f(x) \to \infty$ têm um sentido intuitivo, e as funções racionais e as funções com radicais são contínuas em cada intervalo de seu domínio; admite-se até o curso de Cálculo I. Admitido sem demonstração nesta unidade.
HValor intermediário. Se uma função é contínua em um intervalo $\icc{a}{b}$ , assume nele todo valor compreendido entre $f(a)$ e $f(b)$ ; em particular, se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, anula-se em algum ponto de $\ioo{a}{b}$ (teorema de Bolzano); admite-se até o curso de Cálculo I. Admitido sem demonstração nesta unidade.

Trecho 1 As funções e suas operações
- Definir a função e fixar as regras que determinam o domínio de uma fórmula.
- Demonstrar o lema do sinal de um produto, base do estudo posterior dos sinais.
- Classificar as funções algébricas e provar que a classificação não é vazia.
- Tratar as funções reais como objetos: domínio da composição, inversa por restrição a um conjunto em que a função é monótona, gráfico da inversa e decomposição em partes par e ímpar.
1. Função e domínio. Uma função associa a cada elemento de seu domínio exatamente uma imagem; o domínio de uma fórmula exclui os zeros dos denominadores e os radicandos negativos das raízes de índice par.
  Demonstrado em: Funções algébricas de variável real.
2. Sinal de um produto. Para reais $a$ e $b$ , $ab = 0$ se e somente se $a = 0$ ou $b = 0$ , e $ab > 0$ se e somente se ambos são não nulos e de mesmo sinal; se $b \neq 0$ , o quociente $\frac{a}{b}$ tem o sinal de $ab$ .
  Demonstrado em: Funções algébricas de variável real.
3. Um quociente que não é polinômio. Nenhuma função polinomial coincide com $\frac{1}{x}$ em todos os reais não nulos; donde há funções racionais que não são polinomiais.
  Usa: 1. Função e domínio. Demonstrado em: Funções algébricas de variável real.
4. Gráficos de potências e raízes. Para $n \geq 2$ , as funções $x^n$ e $\sqrt[n]{x}$ conservam a ordem dos reais não negativos, $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ se $0 < x < 1$ , e a potência é par ou ímpar conforme o seja $n$ .
  Usa: 1. Função e domínio. Demonstrado em: Funções algébricas de variável real.
5. Domínio da composição. Para funções reais, o domínio de $f \circ g$ é formado pelos $x$ do domínio de $g$ cuja imagem está no domínio de $f$ ; com esses domínios a composição é associativa, e não é comutativa.
  Usa: 1. Função e domínio. Apoia-se em: C (Composição e inversa). Demonstrado em: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos.
6. Funções monótonas. Toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora, e a soma de duas funções crescentes é crescente.
  Usa: 1. Função e domínio. Demonstrado em: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos.
7. Inversa de uma função monótona. Uma função estritamente crescente em um conjunto $A$ de reais é bijetora de $A$ em seu conjunto imagem, e sua inversa é estritamente crescente; o mesmo vale para as estritamente decrescentes. Assim se invertem, restringindo o domínio, as funções que não são injetoras.
  Usa: 6. Funções monótonas. Apoia-se em: C (Composição e inversa). Demonstrado em: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos.
8. Gráfico da inversa. O ponto $(a, b)$ está no gráfico de $f$ se e somente se $(b, a)$ está no de $f^{-1}$ ; donde o gráfico da inversa é o reflexo do de $f$ em relação à reta $y = x$ .
  Usa: 7. Inversa de uma função monótona. Apoia-se em: C (Composição e inversa). Demonstrado em: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos.
9. Partes par e ímpar. O produto de duas funções pares ou de duas ímpares é par, e o de uma par e uma ímpar é ímpar; toda função de domínio simétrico é, de uma única maneira, soma de uma função par e de uma ímpar.
  Usa: 1. Função e domínio. Demonstrado em: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos.
Trecho 2 Os polinômios e sua fatoração
- Demonstrar o algoritmo da divisão e deduzir dele os teoremas do resto e do fator.
- Limitar o número de raízes de um polinômio e obter o princípio de identidade.
- Encontrar as raízes: fórmula quadrática, discriminante, relações de Girard, divisão sintética, raízes racionais, multiplicidade e cotas.
- Demonstrar, admitido o teorema fundamental da álgebra, a fatoração de todo polinômio real em fatores lineares e quadráticos irredutíveis.
1. Algoritmo da divisão. Dados dois polinômios $P$ e $Q$ , com $Q$ não nulo, existem um quociente $C$ e um resto $R$ únicos tais que $P = Q \cdot C + R$ , com $R$ nulo ou de grau menor que o de $Q$ .
  Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Álgebra dos polinômios reais.
2. Teoremas do resto e do fator. O resto da divisão de $P$ por $x - r$ é $P(r)$ ; portanto, $x - r$ divide $P$ se e somente se $P(r) = 0$ .
  Usa: 10. Algoritmo da divisão. Demonstrado em: Álgebra dos polinômios reais.
3. Lema das raízes distintas. Se $r_1, \ldots, r_k$ são raízes distintas de $P$ , então $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ ; em consequência, um polinômio não nulo de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais.
  Usa: 2. Sinal de um produto, 11. Teoremas do resto e do fator. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Álgebra dos polinômios reais.
4. Princípio de identidade. Dois polinômios assumem o mesmo valor em todo real se e somente se têm os mesmos coeficientes, potência a potência; donde cada polinômio se identifica com sua função, e a raiz quadrada não é uma função racional.
  Usa: 12. Lema das raízes distintas. Demonstrado em: Álgebra dos polinômios reais.
5. Fórmula quadrática e discriminante. Completando quadrados, as raízes de $ax^2 + bx + c$ são $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ , com $\Delta = b^2 - 4ac$ : há duas se $\Delta > 0$ , uma se $\Delta = 0$ , e nenhuma se $\Delta < 0$ , caso em que o polinômio é irredutível nos reais.
  Usa: 2. Sinal de um produto, 11. Teoremas do resto e do fator. Demonstrado em: Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n.
6. Fatoração e relações de Girard. Se $\Delta \geq 0$ , então $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , com $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ e $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
  Usa: 14. Fórmula quadrática e discriminante, 13. Princípio de identidade. Demonstrado em: Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n.
7. Biquadrado de discriminante negativo. Se $b^2 - 4ac < 0$ , o trinômio $ax^4 + bx^2 + c$ é $a$ vezes o produto de dois polinômios quadráticos reais irredutíveis, $x^2 - kx + m$ e $x^2 + kx + m$ .
  Usa: 14. Fórmula quadrática e discriminante. Demonstrado em: Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n.
8. Divisão sintética. Os coeficientes do quociente de $P$ por $x - r$ obtêm-se baixando o coeficiente dominante e somando a cada coeficiente $r$ vezes o número anterior; o último número é o resto, $P(r)$ .
  Usa: 10. Algoritmo da divisão, 13. Princípio de identidade. Demonstrado em: Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética.
9. Raízes racionais. Se a fração irredutível $\frac{p}{q}$ é raiz de um polinômio de coeficientes inteiros com $a_0 \neq 0$ , então $p$ divide $a_0$ e $q$ divide $a_n$ ; a demonstração usa o lema de Euclides da primeira unidade.
  Apoia-se em: B (Lema de Euclides). Demonstrado em: Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética.
10. Divisão sintética repetida. A raiz $r$ tem multiplicidade $k$ , isto é, $P = (x - r)^k C$ com $C(r) \neq 0$ , se e somente se, ao dividir sucessivamente por $x - r$ , os $k$ primeiros restos são nulos e o seguinte não.
  Usa: 17. Divisão sintética, 10. Algoritmo da divisão, 11. Teoremas do resto e do fator. Demonstrado em: Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética.
11. Cotas das raízes. Toda raiz real cumpre $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ (cota de Cauchy), onde $M$ é o maior dos valores absolutos dos demais coeficientes, e se a divisão sintética por $x - c$ , com $c > 0$ e $a_n > 0$ , dá uma linha sem números negativos, nenhuma raiz real supera $c$ .
  Usa: 17. Divisão sintética. Demonstrado em: Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética.
12. Fatoração nos reais. Todo polinômio real de grau $n \geq 1$ é seu coeficiente dominante vezes fatores $x - r$ , com $r$ real, e vezes fatores quadráticos mônicos irredutíveis nos reais.
  Usa: 14. Fórmula quadrática e discriminante, 10. Algoritmo da divisão, 17. Divisão sintética. Apoia-se em: A (Indução), E (Teorema fundamental da álgebra), D (Raízes conjugadas). Demonstrado em: Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética.
Trecho 3 Do quociente ao gráfico
- Precisar quando uma simplificação é uma igualdade e quando duas frações algébricas são iguais.
- Decompor uma fração própria em frações parciais.
- Ler na fatoração o sinal de um polinômio ou de um quociente e resolver com isso inequações e domínios.
- Analisar as funções racionais e as funções com radicais: assíntotas verticais, horizontais, oblíquas e curvilíneas, extremos do domínio e conjunto imagem.
1. Lema de simplificação. Em todo real que não anula $QC$ , a fração $\frac{PC}{QC}$ vale o mesmo que $\frac{P}{Q}$ ; ambas são a mesma função somente se a segunda é restrita ao domínio da primeira.
  Usa: 2. Sinal de um produto. Demonstrado em: Frações algébricas e frações parciais.
2. Igualdade de frações. Dois polinômios que coincidem em todos os reais salvo um número finito são iguais; daí se segue que $\frac{P}{Q}$ e $\frac{R}{S}$ coincidem onde $QS$ não se anula se e somente se $PS = QR$ .
  Usa: 12. Lema das raízes distintas, 13. Princípio de identidade. Demonstrado em: Frações algébricas e frações parciais.
3. Frações parciais. Toda fração própria é, de maneira única, soma de termos $\frac{A}{(x - r)^j}$ e $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ , um para cada potência de cada fator de seu denominador; com fatores lineares, a existência se obtém separando um termo de cada vez e a unicidade isolando em cada raiz a maior potência; com fatores quadráticos irredutíveis, ambas se admitem.
  Usa: 2. Sinal de um produto, 11. Teoremas do resto e do fator, 10. Algoritmo da divisão, 23. Igualdade de frações, 21. Fatoração nos reais. Apoia-se em: F (Bézout e fatoração única). Demonstrado em: Frações algébricas e frações parciais.
4. Sinal de um polinômio. Um produto de $n$ fatores não nulos é negativo se tem um número ímpar de fatores negativos; portanto, o sinal de um polinômio fatorado muda ao atravessar uma raiz se e somente se sua multiplicidade é ímpar, e os fatores irredutíveis conservam o sinal de seu coeficiente dominante.
  Usa: 2. Sinal de um produto, 14. Fórmula quadrática e discriminante, 19. Divisão sintética repetida. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Quadros de sinais e inequações.
5. Assíntotas verticais e pontos removíveis. Se $r$ anula o denominador de $\frac{A}{B}$ e $A(r) \neq 0$ , a reta $x = r$ é uma assíntota vertical; se $A(r) = 0$ , o fator comum se cancela e, se a fração simplificada está definida em $r$ , este é um ponto removível.
  Usa: 11. Teoremas do resto e do fator, 22. Lema de simplificação, 25. Sinal de um polinômio. Apoia-se em: G (Limites e continuidade). Demonstrado em: Quadros de sinais e inequações.
6. Assíntotas de uma função racional. Se $P = Q \cdot C + R$ , a diferença entre $\frac{P}{Q}$ e $C$ é $\frac{R}{Q}$ , que tende a $0$ em ambos os extremos: o quociente $C$ é a assíntota horizontal, oblíqua ou curvilínea, e o quadro de sinais decide para onde escapam os ramos junto às verticais.
  Usa: 10. Algoritmo da divisão, 26. Assíntotas verticais e pontos removíveis. Apoia-se em: G (Limites e continuidade). Demonstrado em: Funções racionais: assíntotas e gráfico.
7. Zeros e conjunto imagem de uma função racional. Pelo valor intermediário, uma função racional que muda de sinal em um intervalo de seu domínio se anula nele, e uma que em um intervalo de seu domínio assume valores maiores e menores que qualquer número assume ali todos os valores reais; se a equação $y \cdot Q(x) = P(x)$ é de grau $2$ , seu discriminante dá o conjunto imagem.
  Usa: 14. Fórmula quadrática e discriminante, 27. Assíntotas de uma função racional. Apoia-se em: G (Limites e continuidade), H (Valor intermediário). Demonstrado em: Funções racionais: assíntotas e gráfico.
8. Domínio e extremos com radicais. O domínio de uma função com radicais é a interseção dos conjuntos dados pelos quadros de sinais de suas condições; se uma raiz de multiplicidade ímpar anula um radicando do numerador, o gráfico termina ali no eixo $x$ ; se se anula um denominador com numerador não nulo, há uma assíntota vertical; e, pelo valor intermediário, cada ramo assume todos os valores compreendidos entre os que alcança ou dos quais se aproxima em seus extremos.
  Usa: 25. Sinal de um polinômio, 26. Assíntotas verticais e pontos removíveis. Apoia-se em: G (Limites e continuidade), H (Valor intermediário). Demonstrado em: Funções com radicais: domínio, sinais e gráfico.
9. Assíntotas com radicais. Como $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , a assíntota de uma função com radicais se encontra separadamente quando $x \to \infty$ e quando $x \to -\infty$ , e pode ser distinta em cada extremo; se $\frac{f(x)}{x}$ não tende a um número, não há assíntota reta.
  Usa: 27. Assíntotas de uma função racional. Apoia-se em: G (Limites e continuidade). Demonstrado em: Funções com radicais: domínio, sinais e gráfico.

Rumo à geometria analítica. A unidade seguinte estuda curvas do plano por meio de suas equações: as retas, a parábola, que se caracteriza completando quadrados, a circunferência como união dos gráficos de $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ e a hipérbole $y = \frac{1}{x}$ com suas duas assíntotas.

No restante desta aula

A unidade dentro do curso
O que se apoia nas unidades anteriores
O elo com a geometria analítica
Avaliação de saída
Desafios
Um resto de grau enorme
Uma função que volta após três aplicações
Um polinômio que comuta com um quadrado
Um polinômio que imita uma fração
Somas sobre as raízes de uma cúbica
Uma raiz quadrada mais uma raiz cúbica
Um produto telescópico
Uma senha repartida entre três pessoas
Uma fração presa entre dois números
Uma raiz com dois comportamentos no infinito