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LatineResumo
Esta aula abre a unidade dedicada à geometria analítica do plano. Propõe uma avaliação de entrada, apresenta suas nove aulas e o fio que as une, desde as coordenadas e a equação da reta até as cônicas e a programação linear; percorre a história dessas ideias, desde as cônicas da geometria grega até a geometria de coordenadas de Fermat e de Descartes e sua aplicação à astronomia, à mecânica e à economia; formula o problema que lhes deu origem, o de converter as propriedades geométricas em equações e as equações em curvas, com o exemplo da duplicação do cubo, e indica onde voltam a ser usadas neste curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever a sequência de conteúdos da unidade e explicar o que cada aula traz às que vêm depois dela.
- Situar em seu contexto histórico o estudo das cônicas, o nascimento da geometria de coordenadas e a programação linear, com seus principais autores.
- Traduzir um problema geométrico clássico, como a duplicação do cubo, em um sistema de equações entre coordenadas, e interpretar suas soluções como pontos de interseção de curvas.
- Reconhecer em outros temas do curso e em outras disciplinas os instrumentos que a unidade constrói.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não atribui nota: serve para saber onde se deter. As nove primeiras perguntas tratam, uma a uma e em ordem, das nove aulas de conteúdo da unidade; a décima pede para formular e resolver um problema de distribuição de recursos, e essas dez habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As três últimas verificam o que a unidade dá por sabido das unidades precedentes: o completamento de quadrados, os quadros de sinais e o valor absoluto.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Qual é a equação da reta que passa por e é perpendicular à reta ?
É a reta paralela à dada que passa por : conserva o coeficiente angular em vez de tomar o que dá produto .Tem coeficiente angular : inverteu-se o coeficiente angular sem lhe trocar o sinal, e o produto dos coeficientes angulares é , não .O coeficiente angular está correto, mas conservou-se o termo independente da reta dada; o ponto não cumpre esta equação, porque .A reta dada tem coeficiente angular , e a perpendicular, coeficiente angular , porque o produto dos coeficientes angulares deve ser . A equação ponto-declividade dá , isto é, .Pergunta 2Calcular a distância do ponto à reta .
Resposta correta:
Pela fórmula da distância de um ponto a uma reta, . Quem obtém esqueceu de dividir pela norma do vetor normal , e quem obtém esqueceu o valor absoluto: uma distância não é negativa.Pergunta 3Qual é a equação da parábola de foco e diretriz ?
Confundiu-se o papel de : tomou-se como coeficiente a distância entre o foco e a diretriz, que é , em vez do quádruplo da distância do foco ao vértice, que é a metade dela.É a parábola de eixo horizontal. Como a diretriz é horizontal, o eixo é vertical, e a variável que aparece ao quadrado é .Abre para baixo, mas o foco está acima da diretriz, de modo que a parábola abre para cima.Um ponto equidista do foco e da diretriz se , que se reduz a ; é a forma com distância focal .Pergunta 4Qual é o vértice da parábola ?
Tomou-se sem o sinal de menos; o ponto de abscissa está na curva, mas não é o vértice.Calculou-se , sem o fator do denominador; é o simétrico de em relação ao eixo, não o vértice.A abscissa está correta, mas a ordenada do vértice é o valor do polinômio em , não o termo independente.Completando o quadrado, ; também e .Pergunta 5Qual é a distância entre os focos da elipse ?
Resposta correta:
Dividindo por obtém-se , com e ; por , tem-se , e os focos distam . Quem obtém deu a distância do centro a um foco, e quem usa aplicou a relação da hipérbole.Pergunta 6Quantos pontos comuns têm as circunferências e ?
Seriam secantes se a distância entre os centros estivesse estritamente entre e ; aqui é igual à soma, o caso limite.Seriam exteriores se a distância entre os centros superasse a soma dos raios; aqui é igual a ela, e as circunferências se tocam.A tangência interior exige que a distância entre os centros seja a diferença dos raios, , não sua soma.Os raios são e , e a distância entre os centros é , igual à soma dos raios: tocam-se num único ponto e cada uma fica fora da outra.Revisar: A circunferência: tangentes, posições relativas e potência
Pergunta 7Quais são as assíntotas da hipérbole ?
Inverteu-se o quociente: o coeficiente angular das assíntotas é , o semieixo associado a sobre o associado a .Usaram-se os denominadores, que são os quadrados dos semieixos, em vez dos semieixos.É a excentricidade , com ; não é o coeficiente angular das assíntotas.Com e , as assíntotas são : as retas que resultam de igualar a zero o primeiro membro, .Revisar: A equação da hipérbole e sua dedução
Pergunta 8O que representa a equação ?
O sinal de indica o tipo, mas é preciso completar os quadrados para ver o segundo membro: se é nulo, a curva degenera em duas retas.Os coeficientes de e de têm sinais opostos, de modo que não pode ser uma elipse.Um só ponto aparece quando e o segundo membro é nulo; com , uma diferença de quadrados nula dá duas retas.Completando os quadrados, : como e o segundo membro é nulo, é o caso degenerado da hipérbole, o par de retas .Revisar: Seções cônicas: caracterização e gráfico das três cônicas
Pergunta 9Encontrar o maior valor de na região definida por , , e .
Resposta correta:
Os vértices da região são , , e , e neles vale , , e ; pelo teorema dos vértices, o máximo é , em . Quem obtém calculou o valor só no ponto de interseção das duas retas oblíquas, que nem sempre é o vértice ótimo.Pergunta 10Uma oficina de costura confecciona camisas e calças. Cada camisa requer hora de corte e horas de costura, e cada calça, hora de corte e hora de costura. Cada dia dispõe de horas de corte e de horas de costura, e ganha unidades monetárias por camisa e por calça. Qual é o maior ganho diário que pode obter?
Resposta correta:
Com camisas e calças, as restrições são , , e , e o ganho é . Os vértices são , , e , com ganhos , , e : o máximo é , com camisas e calças. Quem obtém ou calculou os valores só nas interseções com os eixos, sem o vértice em que se esgotam ao mesmo tempo as horas de corte e as de costura.Pergunta 11De unidades anterioresQual é o menor valor que assume quando percorre os números reais?
Resposta correta:
Completando o quadrado, , e como um quadrado não é negativo, o menor valor é , em . Quem obtém tomou o valor em , e quem obtém escreveu , esquecendo de multiplicar por o termo que o completamento deixa.Revisar: Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n
Pergunta 12De unidades anterioresQual é o conjunto solução de ?
É o conjunto em que o polinômio é positivo: fora das raízes os dois fatores têm o mesmo sinal.As raízes de são e ; tomaram-se com o sinal trocado.O polinômio se fatora como ; pelo quadro de sinais, o produto é negativo quando os fatores têm sinais contrários, isto é, entre as raízes.Revisar: Quadros de sinais e inequações
Pergunta 13De unidades anterioresQual é o conjunto solução de ?
Resolveu-se só , esquecendo que o valor absoluto também limita por baixo: .É o conjunto solução de : a distância de a não supera entre os dois extremos, não fora deles.A desigualdade equivale a , isto é, , donde .
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