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Topos Uranos
Português

A circunferência: tangentes, posições relativas e potência

Resumo

Esta aula estuda a circunferência em relação aos pontos, às retas e às demais circunferências do plano. Mede a posição de um ponto por meio de um número, a sua potência, que é a diferença entre o quadrado da sua distância ao centro e o quadrado do raio; decide a posição de uma reta comparando com o raio a distância do centro à reta, e mostra que esse critério coincide com o do discriminante. Demonstra que a tangente é perpendicular ao raio e deduz a sua equação, classifica as seis posições relativas de duas circunferências por meio do seu eixo radical e demonstra o teorema da potência, do qual decorrem o teorema das cordas, o da secante e da tangente, a igualdade dos dois segmentos tangentes traçados de um ponto exterior e o centro radical de três circunferências.

Objetivos de aprendizagem

  1. Determinar a posição de um ponto e a de uma reta em relação a uma circunferência, por meio da potência e da distância do centro à reta, e relacionar esse critério com o discriminante.
  2. Obter a equação da tangente num ponto da circunferência e as das duas tangentes traçadas de um ponto exterior.
  3. Classificar as posições relativas de duas circunferências comparando a distância entre os seus centros com a soma e a diferença dos seus raios, e encontrar o seu eixo radical.
  4. Aplicar o teorema da potência de um ponto e as suas consequências a problemas de cordas, de tangentes e de lugares geométricos.

A posição de um ponto e a sua potência

Na aula sobre as elipses e as circunferências definiu-se a circunferência de centro C=(h,k)C = (h, k) e raio rr como o conjunto dos pontos cuja distância a CC é rr, obteve-se a sua equação (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e mostrou-se como reconhecê-la, completando quadrados, numa equação desenvolvida x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Esta aula parte daí. Um ponto PP cuja distância a CC é dd é interior à circunferência se d<rd < r, está nela se d=rd = r e é exterior se d>rd > r. Como dd e rr não são negativos, compará-los equivale a comparar os seus quadrados, segundo as regras das desigualdades da aula sobre a reta real; daí decorre que a posição de PP fica decidida pelo sinal de um só número.

Seja uma circunferência de centro C=(h,k)C = (h, k) e raio rr, e seja P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) um ponto cuja distância a CC é dd. A potência de PP em relação à circunferência é o número p=d2−r2p = d^2 - r^2. O ponto é interior se p<0p < 0, está na circunferência se p=0p = 0 e é exterior se p>0p > 0.

Com a fórmula da distância, a potência escreve-se em coordenadas assim:

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

O segundo membro é o primeiro membro da equação da circunferência, escrita com todos os seus termos à esquerda, calculado em (x0,y0)(x_0, y_0). Se a circunferência é dada na forma desenvolvida, com coeficiente 11 em x2x^2 e em y2y^2, esse primeiro membro é o mesmo polinômio, apenas desenvolvido; portanto, a potência obtém-se substituindo as coordenadas do ponto em x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F, sem necessidade de encontrar o centro nem o raio. Por exemplo, para a circunferência x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0, de centro (1,2)(1, 2) e raio 55, o ponto (4,6)(4, 6) tem potência 00 e está nela, o ponto (3,5)(3, 5) tem potência −12-12 e é interior, e o ponto (7,2)(7, 2) tem potência 1111 e é exterior. O nome de potência justifica-se na seção sobre a potência de um ponto, onde se verá que esse número mede, sem referência ao centro, o produto de duas distâncias.