الدائرة: المماسات والأوضاع النسبية وقوة نقطة

وضع نقطة وقوتها

في الدرس الخاص بـالقطوع الناقصة والدوائر عُرِّفت الدائرة التي مركزها $C = (h, k)$ ونصف قطرها $r$ بأنها مجموعة النقاط التي بعد كل منها عن $C$ يساوي $r$، واستُخرجت معادلتها $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$، وبُيِّن كيف يُتعرَّف عليها، بإكمال المربعات، في معادلة منشورة $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. ومن هناك ينطلق هذا الدرس. فالنقطة $P$ التي بعدها عن $C$ يساوي $d$ تكون داخلية بالنسبة إلى الدائرة إذا كان $d < r$، وتقع على الدائرة إذا كان $d = r$، وتكون خارجية إذا كان $d > r$. ولما كان $d$ و$r$ غير سالبين، فإن مقارنتهما تكافئ مقارنة مربعيهما، وفق قواعد المتباينات في الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي؛ ومن ذلك يلزم أن وضع $P$ تحدده إشارة عدد واحد فقط.

لتكن دائرة مركزها $C = (h, k)$ ونصف قطرها $r$، ولتكن $P = (x_0, y_0)$ نقطة بعدها عن $C$ يساوي $d$. قوة النقطة $P$ بالنسبة إلى الدائرة هي العدد $p = d^2 - r^2$. وتكون النقطة داخلية إذا كان $p < 0$، وتقع على الدائرة إذا كان $p = 0$، وتكون خارجية إذا كان $p > 0$.

وبصيغة المسافة، تُكتب القوة بالإحداثيات على النحو الآتي:

الطرف الثاني هو الطرف الأول من معادلة الدائرة، مكتوبةً بجميع حدودها في اليسار، محسوبًا عند $(x_0, y_0)$. وإذا أُعطيت الدائرة في شكلها المنشور، بمعامل $1$ لـ$x^2$ ولـ$y^2$، فإن هذا الطرف الأول هو كثير الحدود نفسه، غير أنه منشور؛ ولذلك تُحصل القوة بتعويض إحداثيات النقطة في $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$، دون حاجة إلى إيجاد المركز ونصف القطر. فمثلًا، بالنسبة إلى الدائرة $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$، التي مركزها $(1, 2)$ ونصف قطرها $5$، النقطة $(4, 6)$ قوتها $0$ وتقع عليها، والنقطة $(3, 5)$ قوتها $-12$ وهي داخلية، والنقطة $(7, 2)$ قوتها $11$ وهي خارجية. ويُعلَّل اسم القوة لاحقًا، عند دراسة قوة نقطة، حيث سيتبيّن أن هذا العدد يقيس، دون الرجوع إلى المركز، جداء مسافتين.