معادلة القطع الناقص والدائرة

تعريف القطع الناقص

كما في الدرس الخاص بـمعادلة القطع المكافئ، نقطة الانطلاق خاصية هندسية معبَّر عنها بالمسافات، التي تُحسب بالصيغة التي رأيناها في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم.

لتكن $F_1$ و$F_2$ نقطتين من المستوى، و$a$ عددًا أكبر من نصف المسافة بينهما. القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_1$ و$F_2$ هو مجموعة النقاط $P$ من المستوى التي يساوي مجموع بُعدي كل منها عن البؤرتين $2a$.

الشرط المفروض على $a$ ليس تفصيلًا ثانويًا. فبمقتضى متباينة المثلث، التي بُرهنت مع حالة المساواة فيها في الدرس الخاص بـالمتجهات في المستوى، يكون مجموع بُعدي أي نقطة $P$ عن البؤرتين أكبر من المسافة بينهما أو مساويًا لها، ولا تتحقق المساواة إلا في نقاط القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين. ومن ذلك يلزم أنه لو كان $2a$ مساويًا للمسافة بين البؤرتين لكانت المجموعة هي تلك القطعة، ولو كان أصغر منها لما احتوت أي نقطة؛ ولا نحصل على منحنى إلا عندما يتجاوز $2a$ المسافة بين البؤرتين.

منتصف القطعة الواصلة بين البؤرتين هو مركز القطع الناقص، والمستقيم المار بهما هو محوره البؤري. وإذا كان $2c$ هو المسافة بين البؤرتين، فإن العدد $c$ هو البعد البؤري، ويُكتب الشرط المذكور أعلاه $a > c \geq 0$.