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Topos Uranos
Français

L’équation de l’ellipse et du cercle

Résumé

Cette leçon définit l’ellipse comme l’ensemble des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes, les foyers, est constante, et déduit de cette définition son équation réduite, en vérifiant que le procédé n’ajoute ni ne perd aucun point. Elle identifie les demi-axes et la distance focale, ainsi que leur relation pythagoricienne ; elle translate l’équation pour obtenir des ellipses de centre quelconque et de grand axe horizontal ou vertical, et obtient le cercle comme le cas où les deux foyers coïncident. Elle se termine par l’équation développée, dont on décide, en complétant les carrés, si elle décrit une ellipse, un cercle, un point unique ou aucun point.

Objectifs d’apprentissage

  1. Énoncer la définition de l’ellipse au moyen de ses foyers, justifier la condition que doit vérifier la somme des distances et en déduire l’équation réduite.
  2. Reconnaître le centre, les demi-axes, les sommets et les foyers d’une ellipse dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées.
  3. Identifier des ellipses et des cercles dans une équation développée en complétant les carrés, et reconnaître les cas où l’équation décrit un point ou aucun point.
  4. Résoudre des problèmes d’intersection, de tangence et de lieux géométriques qui conduisent à des ellipses.

Définition de l’ellipse

Comme dans la leçon sur l’équation des paraboles, le point de départ est une propriété géométrique exprimée au moyen de distances, qui se calculent avec la formule vue dans la leçon sur l’équation de la droite.

Soient F1F_1 et F2F_2 deux points du plan et aa un nombre strictement supérieur à la moitié de la distance qui les sépare. L’ellipse de foyers F1F_1 et F2F_2 est l’ensemble des points PP du plan dont la somme des distances aux foyers est égale à 2a2a.

La condition imposée à aa n’est pas un détail. D’après l’inégalité triangulaire, démontrée avec son cas d’égalité dans la leçon sur les vecteurs du plan, la somme des distances d’un point quelconque PP aux foyers est supérieure ou égale à la distance entre eux, et l’égalité n’a lieu qu’aux points du segment qui joint les foyers. Il s’ensuit que, si 2a2a était égal à la distance entre les foyers, l’ensemble serait ce segment, et, s’il était strictement inférieur, il ne contiendrait aucun point ; ce n’est que lorsque 2a2a dépasse la distance entre les foyers qu’on obtient une courbe.

Le milieu des deux foyers est le centre de l’ellipse, et la droite qui passe par les deux, son axe focal. Si 2c2c est la distance entre les foyers, le nombre cc est la distance focale, et la condition ci-dessus s’écrit a>c≥0a > c \geq 0.