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Topos Uranos
Français

Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance

Résumé

Cette leçon étudie le cercle dans sa relation avec les points, les droites et les autres cercles du plan. Elle mesure la position d’un point au moyen d’un nombre, sa puissance, qui est la différence entre le carré de sa distance au centre et le carré du rayon ; elle décide de la position d’une droite en comparant au rayon la distance du centre à la droite, et montre que ce critère coïncide avec celui du discriminant. Elle démontre que la tangente est perpendiculaire au rayon et en déduit son équation, classe les six positions relatives de deux cercles au moyen de leur axe radical et démontre le théorème de la puissance, dont découlent le théorème des cordes, celui de la sécante et de la tangente, l’égalité des deux segments tangents menés d’un point extérieur et le centre radical de trois cercles.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déterminer la position d’un point et celle d’une droite par rapport à un cercle, au moyen de la puissance et de la distance du centre à la droite, et relier ce critère au discriminant.
  2. Obtenir l’équation de la tangente en un point du cercle et celles des deux tangentes menées d’un point extérieur.
  3. Classer les positions relatives de deux cercles en comparant la distance entre leurs centres à la somme et à la différence de leurs rayons, et trouver leur axe radical.
  4. Appliquer le théorème de la puissance d’un point et ses conséquences à des problèmes de cordes, de tangentes et de lieux géométriques.

La position d’un point et sa puissance

Dans la leçon sur les ellipses et les cercles, on a défini le cercle de centre C=(h,k)C = (h, k) et de rayon rr comme l’ensemble des points dont la distance à CC est rr, on a obtenu son équation (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 et on a montré comment le reconnaître, en complétant les carrés, dans une équation développée x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Cette leçon part de là. Un point PP dont la distance à CC est dd est intérieur au cercle si d<rd < r, est sur le cercle si d=rd = r et est extérieur si d>rd > r. Comme dd et rr sont positifs ou nuls, les comparer revient à comparer leurs carrés, selon les règles des inégalités de la leçon sur la droite réelle ; il s’ensuit que la position de PP est décidée par le signe d’un seul nombre.

Soit un cercle de centre C=(h,k)C = (h, k) et de rayon rr, et soit P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un point dont la distance à CC est dd. La puissance de PP par rapport au cercle est le nombre p=d2−r2p = d^2 - r^2. Le point est intérieur si p<0p < 0, est sur le cercle si p=0p = 0 et est extérieur si p>0p > 0.

Avec la formule de la distance, la puissance s’écrit ainsi en coordonnées :

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

Le second membre est le premier membre de l’équation du cercle, écrite avec tous ses termes à gauche, évalué en (x0,y0)(x_0, y_0). Si le cercle est donné sous forme développée, avec le coefficient 11 devant x2x^2 et devant y2y^2, ce premier membre est le même polynôme, simplement développé ; par conséquent, la puissance s’obtient en substituant les coordonnées du point dans x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F, sans qu’il soit nécessaire de trouver le centre ni le rayon. Par exemple, pour le cercle x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0, de centre (1,2)(1, 2) et de rayon 55, le point (4,6)(4, 6) a pour puissance 00 et est sur le cercle, le point (3,5)(3, 5) a pour puissance −12-12 et est intérieur, et le point (7,2)(7, 2) a pour puissance 1111 et est extérieur. Le nom de puissance se justifie dans la section sur la puissance d’un point, où l’on verra que ce nombre mesure, sans référence au centre, le produit de deux distances.