圆：切线、位置关系与点的幂

摘要

本课研究圆与平面上的点、直线以及其他圆之间的关系。它用一个数来度量点的位置，即点的幂，它等于点到圆心距离的平方与半径的平方之差；它把圆心到直线的距离与半径比较，以判定直线的位置，并说明这一判别法与判别式的判别法一致。本课证明切线垂直于半径并推出切线的方程，借助根轴对两圆的六种位置关系进行分类，并证明点的幂定理，由此得到相交弦定理、切割线定理、从外点所作两条切线长相等的结论，以及三个圆的根心。

学习目标

借助点的幂和圆心到直线的距离，判定点和直线相对于圆的位置，并把这一判别法与判别式联系起来。
求圆上一点处的切线方程，以及从外点所作两条切线的方程。
通过比较两圆圆心之间的距离与两半径之和及之差，对两圆的位置关系进行分类，并求出它们的根轴。
把点的幂定理及其推论应用于有关弦、切线和轨迹的问题。

点的位置与点的幂

在关于椭圆与圆的课中，圆心为 $C = (h, k)$ 、半径为 $r$ 的圆被定义为到 $C$ 的距离等于 $r$ 的点的集合，得到了它的方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ，并说明了如何通过配方，在展开后的方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 中认出圆。本课就从这里出发。设点 $P$ 到 $C$ 的距离为 $d$ ：若 $d < r$ ，则称它是圆的内点；若 $d = r$ ，则称它在圆上；若 $d > r$ ，则称它是圆的外点。由于 $d$ 与 $r$ 都不是负数，根据关于实数轴的课中不等式的法则，比较它们就等价于比较它们的平方；由此可知， $P$ 的位置由一个数的符号决定。

设一个圆的圆心为 $C = (h, k)$ 、半径为 $r$ ，又设 $P = (x_0, y_0)$ 是一点，它到 $C$ 的距离为 $d$ 。点 $P$ 关于该圆的幂是数 $p = d^2 - r^2$ 。若 $p < 0$ ，则该点是内点；若 $p = 0$ ，则该点在圆上；若 $p > 0$ ，则该点是外点。

利用距离公式，点的幂在坐标中可以写成：

p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

右边就是把圆的方程的所有项移到左边以后，左边在 $(x_0, y_0)$ 处的值。若圆以展开的形式给出，且平方项的系数为 $1$ （ $x^2$ 和 $y^2$ 的系数都是如此），那么这个左边就是同一个多项式，只是展开了而已；因此，把点的坐标代入 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$ 即得点的幂，无须求出圆心与半径。例如，对于圆 $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ （圆心为 $(1, 2)$ ，半径为 $5$ ），点 $(4, 6)$ 的幂为 $0$ ，它在圆上；点 $(3, 5)$ 的幂为 $-12$ ，它是内点；点 $(7, 2)$ 的幂为 $11$ ，它是外点。“幂”这一名称将在讲点的幂的那一部分中得到说明，届时会看到，这个数不借助圆心而度量两个距离的乘积。