椭圆与圆的方程 · Topos Uranos

摘要

本课把椭圆定义为平面上到两个定点（即焦点）的距离之和为常数的点的集合，并由这一定义推出它的简化方程，同时验证推导过程既不增添点也不丢失点。课中确定半轴和焦距以及它们之间的勾股关系；平移方程，得到中心在任意点、长轴水平或竖直的椭圆；并把圆作为两个焦点重合的情形得到。最后讨论展开后的方程，通过配方判断它表示椭圆、圆、单独一点，还是不表示任何点。

学习目标

用焦点叙述椭圆的定义，论证距离之和必须满足的条件，并由此推出简化方程。
对于轴平行于坐标轴的椭圆，识别其中心、半轴、顶点和焦点。
通过配方在展开后的方程中识别椭圆和圆，并识别方程表示一个点或不表示任何点的情形。
解决导致椭圆的交点问题、相切问题和轨迹问题。

椭圆的定义

与关于抛物线的方程的课一样，出发点是用距离表达的一个几何性质，而距离用关于直线的方程的课中给出的公式计算。

设 $F_1$ 和 $F_2$ 是平面上的两点， $a$ 是一个大于它们之间距离一半的数。以 $F_1$ 和 $F_2$ 为焦点的椭圆，是平面上这样的点 $P$ 的集合：它到两焦点的距离之和等于 $2a$ 。

对 $a$ 所加的条件并非无关紧要。由三角不等式（它连同等号成立的情形已在关于平面向量的课中证明），任意一点 $P$ 到两焦点的距离之和大于或等于两焦点之间的距离，并且等号只在连接两焦点的线段上的点处成立。由此可知，如果 $2a$ 等于两焦点之间的距离，这个集合就是该线段；如果它更小，集合就不含任何点；只有当 $2a$ 大于两焦点之间的距离时，才得到一条曲线。

两焦点的中点是椭圆的中心，过两焦点的直线是它的焦点轴。如果 $2c$ 是两焦点之间的距离，那么数 $c$ 称为焦距，上述条件写作 $a > c \geq 0$ 。