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Topos Uranos
Deutsch

Die Gleichung der Ellipse und des Kreises

Zusammenfassung

Diese Lektion definiert die Ellipse als die Menge der Punkte der Ebene, deren Abstandssumme zu zwei festen Punkten, den Brennpunkten, konstant ist, und leitet aus dieser Definition ihre Mittelpunktsgleichung her, wobei sie nachprüft, dass das Verfahren keine Punkte hinzufügt und keine verliert. Sie bestimmt die Halbachsen und die Brennweite sowie deren pythagoreische Beziehung; sie verschiebt die Gleichung, um Ellipsen mit beliebigem Mittelpunkt und horizontaler oder vertikaler großer Achse zu erhalten, und gewinnt den Kreis als den Fall, in dem die beiden Brennpunkte zusammenfallen. Sie schließt mit der ausmultiplizierten Gleichung, bei der man durch quadratisches Ergänzen entscheidet, ob sie eine Ellipse, einen Kreis, einen einzigen Punkt oder gar keinen Punkt beschreibt.

Lernziele

  1. Die Definition der Ellipse mithilfe ihrer Brennpunkte angeben, die Bedingung begründen, die die Abstandssumme erfüllen muss, und daraus die Mittelpunktsgleichung herleiten.
  2. Mittelpunkt, Halbachsen, Scheitel und Brennpunkte einer Ellipse erkennen, deren Achsen zu den Koordinatenachsen parallel sind.
  3. Ellipsen und Kreise in einer ausmultiplizierten Gleichung durch quadratisches Ergänzen identifizieren und die Fälle erkennen, in denen die Gleichung einen Punkt oder keinen Punkt beschreibt.
  4. Aufgaben zu Schnittpunkten, zu Tangenten und zu geometrischen Orten lösen, die auf Ellipsen führen.

Definition der Ellipse

Wie in der Lektion über die Gleichung der Parabeln ist der Ausgangspunkt eine geometrische Eigenschaft, die durch Abstände ausgedrückt wird; diese berechnet man mit der Formel aus der Lektion über die Geradengleichung.

Seien F1F_1 und F2F_2 zwei Punkte der Ebene und aa eine Zahl, die größer ist als die Hälfte ihres Abstands. Die Ellipse mit den Brennpunkten F1F_1 und F2F_2 ist die Menge der Punkte PP der Ebene, deren Abstandssumme zu den Brennpunkten gleich 2a2a ist.

Die an aa gestellte Bedingung ist keine Nebensache. Nach der Dreiecksungleichung, die samt ihrem Gleichheitsfall in der Lektion über Vektoren in der Ebene bewiesen wurde, ist die Summe der Abstände eines beliebigen Punktes PP von den Brennpunkten größer oder gleich deren Abstand, und Gleichheit gilt nur für die Punkte der Strecke, die die Brennpunkte verbindet. Daraus folgt: Wäre 2a2a gleich dem Abstand der Brennpunkte, so wäre die Menge diese Strecke, und wäre es kleiner, so enthielte sie keinen Punkt; nur wenn 2a2a den Abstand der Brennpunkte übertrifft, erhält man eine Kurve.

Die Mitte zwischen den Brennpunkten ist der Mittelpunkt der Ellipse, und die Gerade durch beide ist ihre Fokalachse. Ist 2c2c der Abstand der Brennpunkte, so ist die Zahl cc die Brennweite, und die obige Bedingung schreibt sich a>c≥0a > c \geq 0.