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Topos Uranos
Español

Ecuación de las elipses y las circunferencias

Resumen

Esta clase define la elipse como el conjunto de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante, y deduce de esa definición su ecuación reducida, comprobando que el proceso no añade ni pierde puntos. Identifica los semiejes y la distancia focal, y su relación pitagórica; traslada la ecuación para obtener elipses con centro en cualquier punto y eje mayor horizontal o vertical, y obtiene la circunferencia como el caso en que los dos focos coinciden. Termina con la ecuación desarrollada, de la que, completando cuadrados, se decide si describe una elipse, una circunferencia, un único punto o ningún punto.

Objetivos de aprendizaje

  1. Enunciar la definición de elipse mediante sus focos, justificar la condición que debe cumplir la suma de las distancias y deducir de ella la ecuación reducida.
  2. Reconocer el centro, los semiejes, los vértices y los focos de una elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados.
  3. Identificar elipses y circunferencias en una ecuación desarrollada completando cuadrados, y reconocer los casos en que la ecuación describe un punto o ningún punto.
  4. Resolver problemas de intersección, de tangencia y de lugares geométricos que conducen a elipses.

Definición de elipse

Como en la clase sobre la ecuación de las parábolas, el punto de partida es una propiedad geométrica expresada mediante distancias, que se calculan con la fórmula vista en la clase sobre la ecuación de la recta.

Sean F1F_1 y F2F_2 dos puntos del plano y aa un número mayor que la mitad de la distancia entre ellos. La elipse de focos F1F_1 y F2F_2 es el conjunto de los puntos PP del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a2a.

La condición impuesta sobre aa no es un detalle. Por la desigualdad triangular, demostrada con su caso de igualdad en la clase sobre los vectores en el plano, la suma de las distancias de cualquier punto PP a los focos es mayor o igual que la distancia entre ellos, y la igualdad se da solo en los puntos del segmento que une los focos. De ello se sigue que, si 2a2a fuese igual a la distancia entre los focos, el conjunto sería ese segmento, y si fuese menor, no contendría ningún punto; solo cuando 2a2a supera la distancia entre los focos se obtiene una curva.

El punto medio de los focos es el centro de la elipse, y la recta que pasa por ambos, su eje focal. Si 2c2c es la distancia entre los focos, el número cc es la distancia focal, y la condición anterior se escribe a>c≥0a > c \geq 0.