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Topos Uranos
Español

La circunferencia: tangentes, posiciones relativas y potencia de un punto

Resumen

Esta clase estudia la circunferencia en relación con los puntos, las rectas y las demás circunferencias del plano. Mide la posición de un punto mediante un número, su potencia, que es la diferencia entre el cuadrado de su distancia al centro y el cuadrado del radio; decide la posición de una recta comparando con el radio la distancia del centro a la recta, y muestra que este criterio coincide con el del discriminante. Demuestra que la tangente es perpendicular al radio y deduce su ecuación, clasifica las seis posiciones relativas de dos circunferencias mediante su eje radical y demuestra el teorema de la potencia, del que se siguen el teorema de las cuerdas, el de la secante y la tangente, la igualdad de los dos segmentos tangentes trazados desde un punto exterior y el centro radical de tres circunferencias.

Objetivos de aprendizaje

  1. Determinar la posición de un punto y la de una recta respecto de una circunferencia, mediante la potencia y la distancia del centro a la recta, y relacionar este criterio con el discriminante.
  2. Obtener la ecuación de la tangente en un punto de la circunferencia y las de las dos tangentes trazadas desde un punto exterior.
  3. Clasificar las posiciones relativas de dos circunferencias comparando la distancia entre sus centros con la suma y la diferencia de sus radios, y hallar su eje radical.
  4. Aplicar el teorema de la potencia de un punto y sus consecuencias a problemas de cuerdas, de tangentes y de lugares geométricos.

La posición de un punto y su potencia

En la clase sobre las elipses y las circunferencias se definió la circunferencia de centro C=(h,k)C = (h, k) y radio rr como el conjunto de los puntos cuya distancia a CC es rr, se obtuvo su ecuación (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 y se mostró cómo reconocerla, completando cuadrados, en una ecuación desarrollada x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Esta clase parte de allí. Un punto PP cuya distancia a CC es dd es interior a la circunferencia si d<rd < r, está en ella si d=rd = r y es exterior si d>rd > r. Como dd y rr no son negativos, compararlos equivale a comparar sus cuadrados, según las reglas de las desigualdades de la clase sobre la recta real; de ello se sigue que la posición de PP queda decidida por el signo de un solo número.

Sea una circunferencia de centro C=(h,k)C = (h, k) y radio rr, y sea P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un punto cuya distancia a CC es dd. La potencia de PP respecto de la circunferencia es el número p=d2−r2p = d^2 - r^2. El punto es interior si p<0p < 0, está en la circunferencia si p=0p = 0 y es exterior si p>0p > 0.

Con la fórmula de la distancia, la potencia se escribe en coordenadas así:

p=(x0−h)2+(y0−k)2−r2p = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2

El segundo miembro es el primer miembro de la ecuación de la circunferencia, escrita con todos sus términos a la izquierda, evaluado en (x0,y0)(x_0, y_0). Si la circunferencia viene dada en forma desarrollada, con coeficiente 11 en x2x^2 y en y2y^2, ese primer miembro es el mismo polinomio, solo que desarrollado; por tanto, la potencia se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto en x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + F, sin necesidad de hallar el centro ni el radio. Por ejemplo, para la circunferencia x2+y2−2x−4y−20=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0, de centro (1,2)(1, 2) y radio 55, el punto (4,6)(4, 6) tiene potencia 00 y está en ella, el punto (3,5)(3, 5) tiene potencia −12-12 y es interior, y el punto (7,2)(7, 2) tiene potencia 1111 y es exterior. El nombre de potencia se justifica en la última sección, donde se verá que este número mide, sin referencia al centro, el producto de dos distancias.