Die Parabelgleichung: Definitionen und Eigenschaften

Zusammenfassung

Diese Lektion definiert die Parabel als die Menge der Punkte, die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und von einer festen Geraden, der Leitlinie, gleich weit entfernt sind, und leitet aus dieser Definition ihre Gleichung her. Mit der Verschiebung von Graphen gewinnt sie die Gleichung einer Parabel mit beliebigem Scheitel und zeigt, dass die Graphen der quadratischen Polynome genau die Parabeln mit vertikaler Achse sind: Die quadratische Ergänzung liefert ihren Scheitel, ihren Brennpunkt und ihre Leitlinie. Sie schließt mit dem Schnitt von Parabeln und Geraden sowie mit den Tangenten.

Lernziele

Die Definition der Parabel mithilfe von Brennpunkt und Leitlinie angeben und daraus ihre Gleichung herleiten.
Graphen verschieben, indem man $x$ durch $x - h$ und $y$ durch $y - k$ ersetzt.
Scheitel, Brennpunkt und Leitlinie einer durch ein quadratisches Polynom gegebenen Parabel bestimmen.
Den Schnitt einer Parabel mit einer Geraden sowie die Tangenten mit gegebener Steigung bestimmen.

Zwei Vorüberlegungen

Der Abstand zweier Punkte

Die Definition der Parabel beruht auf Abständen. Wie in der Lektion über die Geradengleichung gezeigt wurde, ergibt sich der Abstand zweier Punkte der Ebene aus dem Satz des Pythagoras:

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Der Abstand eines Punktes $(x, y)$ von einer horizontalen Geraden $y = c$ ist die Länge der vertikalen Strecke, die beide verbindet, also die Differenz von $y$ und $c$ , positiv genommen. Man schreibt ihn zweckmäßig als Wurzel aus dem Quadrat dieser Differenz; diese Wurzel ist stets positiv oder null:

\sqrt{(y - c)^2}

Die Verschiebung von Graphen

Der Satz über die Transformationen eines Graphen, bewiesen in der Lektion über die Funktionsverknüpfung, besagt, dass der Graph von $y = f(x - h) + k$ der Graph von $y = f(x)$ ist, verschoben um $h$ Einheiten nach rechts und um $k$ nach oben. Sein Beweis benutzt nicht, dass die Kurve der Graph einer Funktion ist: Er gilt für jede Gleichung zwischen $x$ und $y$ , denn der Punkt $(a, b)$ erfüllt die ursprüngliche Gleichung genau dann, wenn der Punkt $(a + h, b + k)$ die Gleichung erfüllt, die entsteht, wenn man $x$ durch $x - h$ und $y$ durch $y - k$ ersetzt. So werden die Gleichungen der Parabeln verschoben.

BeispielEine Parabel verschieben

Man gehe vom Graphen von $y = x^2$ aus und verschiebe ihn um eine Einheit nach rechts und um eine nach oben.

Beweis

$y = x^2$
Der ursprüngliche Graph hat seinen tiefsten Punkt im Ursprung.
$y = (x - \resaltar{1})^2$
Wir ersetzen $x$ durch $x - 1$ : Jeder Punkt verschiebt sich um eine Einheit nach rechts, und der tiefste Punkt geht in $(1, 0)$ über.
$y - \resaltar{1} = (x - 1)^2$
Wir ersetzen außerdem $y$ durch $y - 1$ : Der Graph steigt um eine Einheit, und der tiefste Punkt geht in $(1, 1)$ über.