A equação da parábola: definições e propriedades

Resumo

Esta aula define a parábola como o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretriz, e deduz dessa definição a sua equação. Com a translação de gráficos, obtém a equação de uma parábola com vértice em qualquer ponto e mostra que os gráficos dos polinômios quadráticos são exatamente as parábolas de eixo vertical: completar o quadrado dá o seu vértice, o seu foco e a sua diretriz. Termina com a interseção entre parábolas e retas, e com as retas tangentes.

Objetivos de aprendizagem

Enunciar a definição de parábola por meio do foco e da diretriz, e deduzir dela a sua equação.
Transladar gráficos substituindo $x$ por $x - h$ e $y$ por $y - k$ .
Encontrar o vértice, o foco e a diretriz de uma parábola dada por um polinômio quadrático.
Determinar a interseção de uma parábola com uma reta e as retas tangentes de coeficiente angular dado.

Duas ideias prévias

A distância entre dois pontos

A definição de parábola se baseia em distâncias. Como se viu na aula sobre a equação da reta, a distância entre dois pontos do plano se obtém com o teorema de Pitágoras:

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

A distância de um ponto $(x, y)$ a uma reta horizontal $y = c$ é o comprimento do segmento vertical que os une, isto é, a diferença entre $y$ e $c$ tomada com sinal positivo. Convém escrevê-la como a raiz do quadrado dessa diferença, que é sempre positiva ou nula:

\sqrt{(y - c)^2}

A translação de gráficos

O teorema das transformações de um gráfico, demonstrado na aula sobre as operações com funções, estabelece que o gráfico de $y = f(x - h) + k$ é o de $y = f(x)$ deslocado $h$ unidades para a direita e $k$ para cima. Sua demonstração não usa que a curva seja o gráfico de uma função: vale para qualquer equação entre $x$ e $y$ , porque o ponto $(a, b)$ satisfaz a equação original exatamente quando o ponto $(a + h, b + k)$ satisfaz a que resulta de substituir $x$ por $x - h$ e $y$ por $y - k$ . É assim que se transladarão as equações das parábolas.

ExemploTransladar uma parábola

Partir do gráfico de $y = x^2$ e deslocá-lo uma unidade para a direita e uma para cima.

Demonstração

$y = x^2$
O gráfico original tem seu ponto mais baixo na origem.
$y = (x - \resaltar{1})^2$
Substituímos $x$ por $x - 1$ : cada ponto se desloca uma unidade para a direita, e o ponto mais baixo passa a $(1, 0)$ .
$y - \resaltar{1} = (x - 1)^2$
Substituímos também $y$ por $y - 1$ : o gráfico sobe uma unidade e o ponto mais baixo passa a $(1, 1)$ .