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Topos Uranos
Português

Caracterização das parábolas e seus gráficos

Resumo

Caracterizar uma parábola é reunir, a partir de sua equação, os dados que bastam para desenhá-la: o sentido em que se abre, o vértice, o eixo de simetria, o foco, a diretriz e as interseções com os eixos coordenados. Esta aula mostra como se obtêm esses dados a partir da forma do vértice e da forma polinomial, deduz as fórmulas gerais do vértice, do foco e da diretriz em função dos coeficientes, relaciona as interseções com o eixo xx com o discriminante e aproveita a simetria da curva para abreviar os cálculos. Termina com um procedimento ordenado para esboçar o gráfico.

Objetivos de aprendizagem

  1. Obter o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de uma parábola dada na forma do vértice ou na forma polinomial.
  2. Deduzir, completando o quadrado, as fórmulas gerais dos elementos da parábola y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.
  3. Determinar as interseções com os eixos e decidir, por meio do discriminante, se a parábola corta o eixo xx.
  4. Usar a simetria em relação ao eixo para encontrar o vértice e esboçar o gráfico com a informação obtida.

As duas formas da equação

Na aula sobre a equação das parábolas viu-se que a parábola de eixo vertical com vértice em (h,k)(h, k), foco (h,k+f)(h, k + f) e diretriz y=k−fy = k - f, com f≠0f \neq 0, satisfaz a equação que aqui chamaremos forma do vértice; o valor absoluto de ff é a distância focal, e seu sinal indica para onde se abre a curva:

(x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k)

Demonstrou-se também, no teorema dos gráficos dos polinômios quadráticos, que ao isolar yy essa equação se converte em um polinômio quadrático e que, reciprocamente, o gráfico de todo polinômio quadrático é uma parábola de eixo vertical. Chamaremos forma polinomial a equação

y=ax2+bx+c,a≠0y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Ambas descrevem a mesma curva, mas não mostram a mesma informação: a forma do vértice exibe a geometria (vértice, foco, diretriz), enquanto a forma polinomial exibe a interseção com o eixo yy, que é (0,c)(0, c), e permite calcular as interseções com o eixo xx resolvendo uma equação quadrática. Caracterizar uma parábola consiste em reunir os dados indicados a seguir, com os quais se esboça seu gráfico:

  1. O sentido da abertura: para cima ou para baixo.
  2. O vértice e o eixo de simetria.
  3. O foco e a diretriz.
  4. As interseções com o eixo xx, se existirem, e a interseção com o eixo yy.