Caratterizzazione delle parabole e loro grafici

Riepilogo

Caratterizzare una parabola significa raccogliere, a partire dalla sua equazione, i dati che bastano per disegnarla: il verso in cui è rivolta, il vertice, l’asse di simmetria, il fuoco, la direttrice e le intersezioni con gli assi coordinati. Questa lezione mostra come si ottengono questi dati dalla forma del vertice e dalla forma polinomiale, deduce le formule generali del vertice, del fuoco e della direttrice in funzione dei coefficienti, mette in relazione le intersezioni con l’asse $x$ con il discriminante e sfrutta la simmetria della curva per abbreviare i calcoli. Si conclude con un procedimento ordinato per tracciare il grafico qualitativo.

Obiettivi di apprendimento

Ottenere il vertice, il fuoco, la direttrice e l’asse di una parabola data in forma del vertice o in forma polinomiale.
Dedurre, completando il quadrato, le formule generali degli elementi della parabola $y = ax^2 + bx + c$ .
Determinare le intersezioni con gli assi e decidere, mediante il discriminante, se la parabola interseca l’asse $x$ .
Usare la simmetria rispetto all’asse per trovare il vertice e tracciare il grafico qualitativo con le informazioni ottenute.

Le due forme dell’equazione

Nella lezione sull’equazione delle parabole si è visto che la parabola con asse verticale, vertice in $(h, k)$ , fuoco $(h, k + f)$ e direttrice $y = k - f$ , dove $f \neq 0$ , soddisfa l’equazione che qui chiameremo forma del vertice; il valore assoluto di $f$ è la distanza focale, e il suo segno indica verso dove è rivolta la curva:

(x - h)^2 = 4f(y - k)

Si è dimostrato inoltre, nel teorema sui grafici dei trinomi di secondo grado, che ricavando $y$ quell’equazione diventa un trinomio di secondo grado e che, viceversa, il grafico di ogni trinomio di secondo grado è una parabola con asse verticale. Chiameremo forma polinomiale l’equazione

y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Entrambe descrivono la stessa curva, ma non mostrano la stessa informazione: la forma del vertice mette in evidenza la geometria (vertice, fuoco, direttrice), mentre la forma polinomiale mette in evidenza l’intersezione con l’asse $y$ , che è $(0, c)$ , e permette di calcolare le intersezioni con l’asse $x$ risolvendo un’equazione di secondo grado. Caratterizzare una parabola consiste nel raccogliere i dati seguenti, con i quali se ne traccia il grafico qualitativo:

Il verso dell’apertura: verso l’alto o verso il basso.
Il vertice e l’asse di simmetria.
Il fuoco e la direttrice.
Le intersezioni con l’asse $x$ , se esistono, e l’intersezione con l’asse $y$ .