포물선의 특성화와 그래프

요약

포물선을 특성화한다는 것은 그 방정식으로부터 포물선을 그리기에 충분한 자료, 즉 열리는 방향, 꼭짓점, 대칭축, 초점, 준선, 좌표축과의 교점을 모으는 것이다. 이 수업에서는 이 자료들을 꼭짓점 꼴과 다항식 꼴에서 얻는 방법을 보이고, 꼭짓점, 초점, 준선의 일반 공식을 계수로 나타내어 유도하며, $x$ 축과의 교점을 판별식과 연결하고, 곡선의 대칭성을 이용하여 계산을 줄인다. 마지막으로 그래프의 개형을 그리는 순서 있는 절차를 제시한다.

학습 목표

꼭짓점 꼴이나 다항식 꼴로 주어진 포물선의 꼭짓점, 초점, 준선, 축을 구한다.
완전제곱식을 만들어 포물선 $y = ax^2 + bx + c$ 의 요소들에 대한 일반 공식을 유도한다.
좌표축과의 교점을 구하고, 판별식을 이용하여 포물선이 $x$ 축과 만나는지 판정한다.
축에 대한 대칭성을 이용하여 꼭짓점을 구하고, 얻은 정보로 그래프의 개형을 그린다.

방정식의 두 가지 꼴

포물선의 방정식에 관한 수업에서, 축이 연직이고 꼭짓점이 $(h, k)$ , 초점이 $(h, k + f)$ , 준선이 $y = k - f$ (단, $f \neq 0$ )인 포물선은 여기서 꼭짓점 꼴이라 부를 방정식을 만족함을 보았다. $f$ 의 절댓값이 초점거리이며, 그 부호는 곡선이 어느 쪽으로 열리는지를 나타낸다.

(x - h)^2 = 4f(y - k)

또한 이차식의 그래프에 관한 정리에서, 이 방정식을 $y$ 에 대하여 풀면 이차식이 되고, 역으로 모든 이차식의 그래프는 축이 연직인 포물선임을 증명하였다. 아래의 방정식을 다항식 꼴이라 부르기로 한다.

y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

두 꼴은 같은 곡선을 나타내지만 보여 주는 정보는 같지 않다. 꼭짓점 꼴은 기하(꼭짓점, 초점, 준선)를 드러내고, 다항식 꼴은 $y$ 축과의 교점, 즉 $(0, c)$ 를 드러내며, 이차방정식을 풀어 $x$ 축과의 교점을 계산할 수 있게 한다. 포물선을 특성화한다는 것은 아래의 자료를 모으는 것이며, 이것으로 그래프의 개형을 그린다.

열리는 방향: 위쪽 또는 아래쪽.
꼭짓점과 대칭축.
초점과 준선.
$x$ 축과의 교점(존재하는 경우)과 $y$ 축과의 교점.