परवलयों का अभिलक्षणन और उनके आलेख

समीकरण के दो रूप

परवलय का समीकरण पर पाठ में देखा गया था कि ऊर्ध्वाधर अक्ष वाला वह परवलय जिसका शीर्ष $(h, k)$ पर है, नाभि $(h, k + f)$ है और नियता $y = k - f$ है, जहाँ $f \neq 0$, उस समीकरण को संतुष्ट करता है जिसे हम यहाँ शीर्ष रूप कहेंगे; $f$ का निरपेक्ष मान नाभीय दूरी है, और उसका चिह्न बताता है कि वक्र किस ओर खुलता है:

द्विघात बहुपदों के आलेखों वाली प्रमेय में यह भी सिद्ध किया गया था कि $y$ को अलग करने पर यह समीकरण एक द्विघात बहुपद बन जाता है, और विलोमतः, प्रत्येक द्विघात बहुपद का आलेख ऊर्ध्वाधर अक्ष वाला परवलय होता है। निम्नलिखित समीकरण को हम बहुपद रूप कहेंगे:

दोनों एक ही वक्र का वर्णन करते हैं, पर एक ही जानकारी नहीं दिखाते: शीर्ष रूप ज्यामिति (शीर्ष, नाभि, नियता) को सामने लाता है, जबकि बहुपद रूप $y$ अक्ष से प्रतिच्छेद बिंदु को सामने लाता है, जो $(0, c)$ है, और एक द्विघात समीकरण हल करके $x$ अक्ष से प्रतिच्छेद बिंदुओं की गणना संभव बनाता है। परवलय का अभिलक्षणन निम्नलिखित आँकड़ों को एकत्र करना है, जिनसे उसके आलेख का रेखाचित्र बनाया जाता है:

1. खुलने की दिशा: ऊपर की ओर या नीचे की ओर।
2. शीर्ष और सममिति अक्ष।
3. नाभि और नियता।
4. $x$ अक्ष से प्रतिच्छेद बिंदु, यदि हों, और $y$ अक्ष से प्रतिच्छेद बिंदु।