दीर्घवृत्त और वृत्त का समीकरण

दीर्घवृत्त की परिभाषा

परवलय का समीकरण विषयक पाठ की तरह, आरंभ-बिंदु दूरियों के माध्यम से व्यक्त एक ज्यामितीय गुण है, और ये दूरियाँ रेखा का समीकरण विषयक पाठ में देखे गए सूत्र से परिकलित की जाती हैं।

मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ समतल के दो बिंदु हैं और $a$ एक संख्या है जो उनके बीच की दूरी के आधे से बड़ी है। $F_1$ और $F_2$ नाभियों वाला दीर्घवृत्त समतल के उन बिंदुओं $P$ का समुच्चय है जिनकी नाभियों से दूरियों का योग $2a$ के बराबर है।

$a$ पर लगाई गई शर्त कोई गौण बात नहीं है। त्रिभुज असमिका से, जो अपनी समता की स्थिति सहित समतल में सदिश विषयक पाठ में सिद्ध की गई थी, किसी भी बिंदु $P$ की नाभियों से दूरियों का योग नाभियों के बीच की दूरी से बड़ा या उसके बराबर होता है, और समता केवल नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड के बिंदुओं पर होती है। इससे यह निकलता है कि यदि $2a$ नाभियों के बीच की दूरी के बराबर होता, तो समुच्चय वही रेखाखंड होता, और यदि उससे छोटा होता, तो उसमें कोई बिंदु नहीं होता; वक्र केवल तभी प्राप्त होता है जब $2a$ नाभियों के बीच की दूरी से अधिक हो।

नाभियों का मध्य-बिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र है, और दोनों नाभियों से होकर जाने वाली रेखा उसका नाभि अक्ष। यदि $2c$ नाभियों के बीच की दूरी है, तो संख्या $c$ नाभीय दूरी कहलाती है, और ऊपर की शर्त $a > c \geq 0$ लिखी जाती है।