समतल में सदिश और रेखा के प्राचलिक समीकरण

सारांश

यह पाठ समतल के सदिशों को, जो विस्थापनों को निरूपित करते हैं, वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों के रूप में प्रस्तुत करता है, और उनके योग, संख्या से गुणन, परिमाण और अदिश गुणनफल को उनके गुणों सहित परिभाषित करता है। अदिश गुणनफल से लंबता की शर्त, कॉशी-श्वार्ज़ असमिका, त्रिभुज असमिका, लांबिक प्रक्षेप और कोणों का न्यून, समकोण और अधिक कोणों में वर्गीकरण निकलते हैं। सदिशों की सहायता से रेखा को सदिश रूप और प्राचलिक रूप में लिखा जाता है, उसका अभिलंब सदिश और किसी बिंदु की रेखा से दूरी का सूत्र प्राप्त किया जाता है, प्राचलों द्वारा दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन ज्ञात किया जाता है, रेखाखंडों को दिए गए अनुपात में विभाजित किया जाता है और एकसमान गति का वर्णन किया जाता है; प्रश्न इन उपकरणों को ज्यामितीय उपपत्तियों, दर्पण में परावर्तन और दो गतिमान पिंडों के एक-दूसरे के निकट आने पर लागू करते हैं।

अधिगम उद्देश्य

समतल के सदिशों पर घटकों द्वारा और ज्यामितीय रूप से संक्रियाएँ करना, और किसी सदिश को दो अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना।
परिमाण और अदिश गुणनफल परिकलित करना, और उनका उपयोग लंब सदिशों को पहचानने, कोणों का वर्गीकरण करने और एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप करने के लिए करना।
किसी रेखा को सदिश, प्राचलिक और व्यापक रूप में लिखना, एक रूप से दूसरे में जाना, और सदिशों से प्रतिच्छेदन, दूरियाँ और रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु परिकलित करना।
सदिशों के माध्यम से ज्यामितीय गुणों को सिद्ध करना और प्राचलिक रेखाओं से एकसमान गति का प्रतिरूपण करना।

समतल में सदिश

रेखा का समीकरण वाले पाठ में समतल के प्रत्येक बिंदु की पहचान उसके निर्देशांकों के युग्म से की गई थी। फिर भी, बहुत-सी राशियों का वर्णन एक बिंदु से नहीं बल्कि एक विस्थापन से होता है: दाईं ओर तीन मात्रक और ऊपर की ओर दो मात्रक आगे बढ़ना वही निर्देश है, चाहे आरंभिक बिंदु कोई भी हो। यही बात वेग या बल के साथ होती है, जिनका एक परिमाण, एक दिशा और एक अभिविन्यास होता है, और जिनका अध्ययन यांत्रिकी के मूल सिद्धांत पाठ्यक्रम में किया जाता है। एक विस्थापन को एक तीर के रूप में खींचा जाता है, और वह दो संख्याओं से निर्धारित होता है: क्षैतिज प्रगति और ऊर्ध्वाधर प्रगति। यदि ऐसा है, तो स्वाभाविक परिभाषा निम्नलिखित है।

समतल का एक सदिश वास्तविक संख्याओं का एक क्रमित युग्म है, $\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)$ ; संख्याएँ $u_1$ और $u_2$ उसके घटक हैं। बिंदु $P = (x_1, y_1)$ से बिंदु $Q = (x_2, y_2)$ तक जाने वाला सदिश उनके निर्देशांकों के अंतरों का युग्म है, और इसे $\vec{PQ}$ लिखा जाता है; आरंभ बिंदु $P$ और अंत बिंदु $Q$ वाला तीर इसे निरूपित करता है।

\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

एक ही सदिश के अनंत निरूपण होते हैं: दो तीर एक ही सदिश को निरूपित करते हैं जब वे एक जैसी क्षैतिज प्रगति और एक जैसी ऊर्ध्वाधर प्रगति उत्पन्न करते हैं, अर्थात जब एक तीर दूसरे से स्थानांतरण द्वारा प्राप्त होता है। इन सब में ठीक एक ऐसा है जो मूल बिंदु $O$ से आरंभ होता है: वह तीर जो बिंदु $(u_1, u_2)$ पर समाप्त होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $\vec{OP}$ के, जिसे $P$ का स्थिति सदिश कहा जाता है, घटक $P$ के निर्देशांक हैं। आगे $P + \vec{u}$ उस बिंदु के लिए लिखा जाता है जिस पर $P$ से विस्थापन $\vec{u}$ द्वारा पहुँचा जाता है, अर्थात उस तीर का अंत बिंदु जो $\vec{u}$ को निरूपित करता है और जिसका आरंभ बिंदु $P$ है। शून्य सदिश $\vec{0} = \left( 0, 0 \right)$ अपनी जगह से न हिलने के संगत है, और $\vec{u}$ का विपरीत सदिश $-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right)$ है, अर्थात उलटा विस्थापन; इस प्रकार, $\vec{QP} = -\vec{PQ}$ ।

उपप्रमेयसमान सदिश और समांतर चतुर्भुज

मान लीजिए $P$ , $Q$ , $R$ और $S$ समतल के बिंदु हैं। समताएँ $\vec{PQ} = \vec{RS}$ और $\vec{PR} = \vec{QS}$ तुल्य हैं, और दोनों इस बात के तुल्य हैं कि रेखाखंडों $PS$ और $QR$ का मध्य-बिंदु एक ही है। यदि चारों बिंदु संरेख नहीं हैं, तो $\vec{PQ} = \vec{RS}$ यदि और केवल यदि शीर्षों $P$ , $Q$ , $S$ और $R$ वाला चतुर्भुज, इसी क्रम में, एक समांतर चतुर्भुज है।

तीनों तुल्यताएँ संख्याओं के बीच एक समता को निर्देशांक-दर-निर्देशांक पुनर्व्यवस्थित करने तक सीमित हो जाती हैं; अंतिम तुल्यता रेखा वाले पाठ की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन की प्रमेय पर टिकी है। हम चारों बिंदुओं के भुजों को $p_1$ , $q_1$ , $r_1$ और $s_1$ कहते हैं।

प्रमाण

$\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}$
$\vec{PQ}$ और $\vec{RS}$ के पहले घटकों की समता, दोनों पक्षों में $r_1 - q_1$ जोड़ने पर, $\vec{PR}$ और $\vec{QS}$ के पहले घटकों की समता के तुल्य है। चित्र में, $P = (1, 0)$ , $Q = (5, 1)$ , $R = (2, 3)$ और $S = (6, 4)$ ।
$q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}$
वही समता, दोनों पक्षों में $p_1$ और $r_1$ जोड़कर और $2$ से भाग देकर, इस बात के तुल्य है कि $PS$ और $QR$ के मध्य-बिंदुओं का भुज एक ही है। कोटियों के साथ भी इसी प्रकार विचार किया जाता है; अतः तीनों कथन तुल्य हैं।
$\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}$
अब मान लीजिए कि चारों बिंदु संरेख नहीं हैं और $\vec{PQ} = \vec{RS}$ । रेखाओं $PQ$ और $RS$ की दिशा एक ही है: उनकी प्रवणता एक ही है, जो उस सदिश के घटकों का भागफल है, या यदि उसका पहला घटक शून्य है तो दोनों ऊर्ध्वाधर हैं। वे अलग-अलग हैं, क्योंकि यदि वे संपाती होतीं तो चारों बिंदु संरेख होते; अतः वे समांतर हैं: यदि वे ऊर्ध्वाधर नहीं हैं, तो दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं के प्रतिच्छेदन की प्रमेय से, और यदि हैं, तो इसलिए कि दो अलग-अलग ऊर्ध्वाधर रेखाएँ एक-दूसरे को नहीं काटतीं।
$\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}$
पहले भाग से $\vec{PR} = \vec{QS}$ भी सत्य है, और वही युक्ति दिखाती है कि भुजाएँ $PR$ और $QS$ समांतर हैं। चतुर्भुज $PQSR$ की सम्मुख भुजाएँ दो-दो करके समांतर हैं: यह एक समांतर चतुर्भुज है।
$\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}$
विलोमतः, मान लीजिए $PQSR$ एक समांतर चतुर्भुज है और मान लीजिए $S_1 = R + \vec{PQ}$ । जो पहले सिद्ध हो चुका है, उसे बिंदुओं $P$ , $Q$ , $R$ और $S_1$ पर लागू करने से, बिंदु $S_1$ उस रेखा पर है जो $PQ$ के समांतर है और $R$ से होकर खींची गई है, तथा उस रेखा पर भी जो $PR$ के समांतर है और $Q$ से होकर खींची गई है।
$S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}$
ये दोनों समांतर रेखाएँ आपस में समांतर नहीं हैं, क्योंकि $P$ , $Q$ और $R$ संरेख नहीं हैं, और वे एक अद्वितीय बिंदु पर काटती हैं। चूँकि समांतर चतुर्भुज का शीर्ष $S$ भी दोनों पर है, वह $S_1$ के संपाती है।

उदाहरणएक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने वाला सदिश

$P = (1, 1)$ से $Q = (4, 3)$ तक जाने वाला सदिश परिकलित कीजिए, उसे बिंदु $R = (-2, 2)$ पर और मूल बिंदु पर स्थानांतरित कीजिए, और उसकी तुलना $Q$ से $P$ तक जाने वाले सदिश से कीजिए।

प्रमाण

$\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}$
हम तीर के अंत बिंदु के निर्देशांकों में से उसके आरंभ बिंदु के निर्देशांक घटाते हैं: विस्थापन दाईं ओर $3$ मात्रक और ऊपर की ओर $2$ मात्रक का है।
$S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)$
आरंभ बिंदु $R$ होने पर, वही विस्थापन बिंदु $S$ पर ले जाता है।
$\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}$
प्रमेयिका से, $\vec{PR}$ और $\vec{QS}$ भी बराबर हैं, और बिंदु $P$ , $Q$ , $S$ और $R$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
$\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)$
आरंभ बिंदु $O$ होने पर, तीर उस बिंदु $A$ पर समाप्त होता है जिसके निर्देशांक सदिश के घटक हैं: $\vec{PQ}$ , $A$ का स्थिति सदिश है।
$\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}$
$Q$ से $P$ तक जाने वाला तीर उसी रेखाखंड को विपरीत अभिविन्यास में तय करता है: यह विपरीत सदिश को निरूपित करता है।

सदिशों का योग और संख्या से गुणन

सदिशों $\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)$ और $\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right)$ का योग $\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right)$ है, और वास्तविक संख्या $t$ का $\vec{u}$ से गुणन $t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right)$ है। $\vec{u}$ और $\vec{v}$ का अंतर $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right)$ है।

योग विस्थापनों को एक के बाद एक करने के संगत है: यदि $\vec{u}$ तय किया जाए और उसके बाद $\vec{v}$ , तो कुल क्षैतिज प्रगति $u_1 + v_1$ है और ऊर्ध्वाधर, $u_2 + v_2$ । बिंदुओं के पदों में, किन्हीं तीन बिंदुओं $A$ , $B$ और $C$ के लिए शाल संबंध सत्य है, क्योंकि निर्देशांकों के अंतर एक के बाद एक जुड़ते हैं: $(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1$ , और कोटियों के साथ भी यही होता है।

\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

इससे योग की दो रचनाएँ निकलती हैं: त्रिभुज नियम, जो $\vec{v}$ के आरंभ बिंदु को $\vec{u}$ के अंत बिंदु पर रखता है, और समांतर चतुर्भुज नियम, जो दोनों सदिशों को एक ही आरंभ बिंदु से खींचता है और उनके द्वारा निर्धारित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण लेता है। विशेष रूप से, $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$ : दो बिंदुओं के बीच का प्रत्येक सदिश उनके स्थिति सदिशों का अंतर है। दूसरी ओर, गुणन $t \vec{u}$ दोनों प्रगतियों को $t$ से गुणा करता है: यदि $t > 0$ , तो वह $\vec{u}$ की दिशा और अभिविन्यास बनाए रखता है; यदि $t < 0$ , तो वह दिशा बनाए रखता है और अभिविन्यास उलट देता है; और, जैसा परिमाण के साथ देखा जाएगा, वह लंबाई को $\abs{t}$ से गुणा करता है।

उदाहरणयोग, अंतर और समांतर चतुर्भुज नियम

मान लीजिए $\vec{u} = \left( 4, 1 \right)$ और $\vec{v} = \left( 1, 3 \right)$ । $\vec{u} + \vec{v}$ की रचना त्रिभुज नियम से और समांतर चतुर्भुज नियम से कीजिए, और $\vec{u} - \vec{v}$ की रचना कीजिए।

प्रमाण

$\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}$
हम दोनों सदिशों को आरंभ बिंदु $O$ से खींचते हैं।
$\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}$
त्रिभुज नियम: $\vec{u}$ के अंत बिंदु से आरंभ करके, $\vec{v}$ बिंदु $(5, 4)$ पर ले जाता है; योग घटक-दर-घटक परिकलित किया जाता है।
$\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}$
समांतर चतुर्भुज नियम: यदि पहले $\vec{v}$ और फिर $\vec{u}$ तय किया जाए, तो उसी बिंदु पर पहुँचते हैं। योग भुजाओं $\vec{u}$ और $\vec{v}$ वाले समांतर चतुर्भुज का वह विकर्ण है जो $O$ से आरंभ होता है।
$-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}$
$\vec{v}$ का विपरीत सदिश उसका $-1$ से गुणन है: उसकी लंबाई वही है और अभिविन्यास विपरीत।
$\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)$
अंतर $\vec{u}$ और $-\vec{v}$ का योग है। स्थानांतरित करने पर, यह वह तीर है जो $\vec{v}$ के अंत बिंदु से $\vec{u}$ के अंत बिंदु तक जाता है: समांतर चतुर्भुज का दूसरा विकर्ण।

दोनों संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं से निम्नलिखित गुण प्राप्त करती हैं, जो सभी सदिशों $\vec{u}$ , $\vec{v}$ और $\vec{w}$ और सभी वास्तविक संख्याओं $s$ और $t$ के लिए मान्य हैं:

योग की क्रमविनिमेयता: $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ ।
योग की साहचर्यता: $\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right)$ ।
तत्समक अवयव: $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ ।
प्रतिलोम अवयव: $\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}$ ।
गुणन की साहचर्यता: $s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}$ ।
1 से गुणन: $1 \vec{u} = \vec{u}$ ।
सदिशों के योग पर वितरणशीलता: $t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}$ ।
संख्याओं के योग पर वितरणशीलता: $\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}$ ।

प्रमेयसदिशों पर संक्रियाओं के गुण

समतल के सभी सदिशों $\vec{u}$ , $\vec{v}$ और $\vec{w}$ और सभी वास्तविक संख्याओं $s$ और $t$ के लिए पिछली सूची के आठों गुण सत्य हैं।

दोनों संक्रियाएँ घटक-दर-घटक कार्य करती हैं, इसलिए प्रत्येक गुण वास्तविक संख्याओं के संगत गुण तक सीमित हो जाता है, जो प्रत्येक घटक पर लागू किया जाता है। पहला घटक लिखना पर्याप्त है, क्योंकि दूसरा अधोलेख $2$ के साथ बिल्कुल वैसा ही है।

प्रमाण

$\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}$
क्रमविनिमेयता और साहचर्यता: ये वास्तविक संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता और साहचर्यता से प्राप्त होती हैं।
$\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}$
तत्समक और प्रतिलोम: $0$ योग का तत्समक है और $-u_1$ , $u_1$ का योज्य प्रतिलोम है।
$\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}$
गुणन की साहचर्यता और 1 से गुणन: वास्तविक संख्याओं का गुणन साहचर्य है और $1$ उसका तत्समक है।
$\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}$
दोनों वितरणशीलताएँ: वास्तविक संख्याओं का गुणन योग पर वितरणशील है।
$\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}$
दो सदिश बराबर हैं यदि और केवल यदि उनके दोनों घटक बराबर हैं; अतः आठों समताएँ सदिशों के बीच भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए, पहली।

ये आठ गुण सदिश समष्टि के अभिगृहीत हैं: कोई भी समुच्चय, जिसके अवयव आपस में जोड़े जाते हैं और वास्तविक संख्याओं से गुणा किए जाते हैं और जो ये आठ नियम संतुष्ट करता है, सदिश समष्टि कहलाता है, और जो कुछ भी इनसे घटकों का उपयोग किए बिना निगमित हो, वह इनमें से प्रत्येक में मान्य होगा। बहुपदों के बीजगणित पर पाठ के बहुपद, अपने योग और संख्या से गुणन के साथ, एक और सदिश समष्टि बनाते हैं।

रैखिक संयोजन और समांतर सदिश

सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ का एक रैखिक संयोजन $s \vec{u} + t \vec{v}$ के रूप का एक सदिश है, जहाँ $s$ और $t$ वास्तविक हैं। सदिश $\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right)$ और $\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right)$ , जो प्रत्येक अक्ष की दिशा में एक मात्रक आगे बढ़ते हैं, प्रत्येक सदिश को अपने रैखिक संयोजन के रूप में लिखने देते हैं, और केवल एक ही तरह से, क्योंकि $a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right)$ का $\vec{u}$ के बराबर होना केवल तभी संभव है जब $a = u_1$ और $b = u_2$ । इसीलिए इन्हें समतल का मानक आधार कहा जाता है:

\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

दो शून्येतर सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ समांतर होते हैं जब एक दूसरे का गुणज हो, अर्थात जब $\vec{v} = t \vec{u}$ हो, किसी वास्तविक संख्या $t$ के लिए, जो शून्य नहीं हो सकती; यदि $t > 0$ तो उनका अभिविन्यास एक ही है और यदि $t < 0$ तो विपरीत। तब उन्हें एक ही आरंभ बिंदु से निरूपित करने वाले तीर एक ही रेखा पर होते हैं।

उपप्रमेयसमांतरता की कसौटी

दो शून्येतर सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ समांतर हैं यदि और केवल यदि $u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$ ।

एक दिशा केवल एक परिकलन है; दूसरी दिशा के लिए संख्या $t$ को $\vec{v} = t \vec{u}$ से बनाना होता है, $\vec{u}$ के किसी शून्येतर घटक से भाग देकर।

प्रमाण

$u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0$
यदि $\vec{v} = t \vec{u}$ , तो $\vec{v}$ के घटक $t u_1$ और $t u_2$ हैं, और व्यंजक शून्य हो जाता है। चित्र में, $\vec{u} = \left( 2, 1 \right)$ और $\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}$ ।
$\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}$
विलोमतः, मान लीजिए कि व्यंजक शून्य है, और पहले मान लीजिए $u_1 \neq 0$ । हम $t$ को पहले घटकों के भागफल के रूप में परिभाषित करते हैं, जिससे $\vec{v}$ का पहला घटक $t u_1$ है। चित्र में, $t = \frac{6}{2} = 3$ ।
$v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2$
हम परिकल्पना में से $v_2$ को अलग करते हैं: दूसरा घटक भी $t u_2$ है, और अतः $\vec{v} = t \vec{u}$ । चित्र में, $3 = 3 \cdot 1$ ।
$u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}$
यदि $u_1 = 0$ , तो $u_2 \neq 0$ , क्योंकि $\vec{u}$ शून्य नहीं है; परिकल्पना से $u_2 v_1 = 0$ मिलता है, जिससे $v_1 = 0$ , और दूसरे घटकों के भागफल से $\vec{v} = t \vec{u}$ प्राप्त होता है। चित्र में, $\vec{u} = \left( 0, 2 \right)$ और $\vec{v} = \left( 0, -3 \right)$ , जहाँ $t = -\frac{3}{2}$ ।

संख्या $u_1 v_2 - u_2 v_1$ रैखिक निकायों पर पाठ का सारणिक है, और निम्नलिखित प्रमेयिका इसका कारण बताती है।

उपप्रमेयदो असमांतर सदिशों के रैखिक संयोजन

यदि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ शून्येतर और असमांतर सदिश हैं, तो प्रत्येक $\vec{w}$ उनका एक रैखिक संयोजन है, और केवल एक ही तरह से: संख्याएँ $s$ और $t$ , और केवल एक ही युग्म, ऐसी विद्यमान हैं कि $\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}$ ।

वांछित समता, घटकों में लिखी जाए तो, अज्ञातों $s$ और $t$ में दो रैखिक समीकरणों का एक निकाय है, और उस पर क्रेमर नियम लागू करना पर्याप्त है।

प्रमाण

$\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}$
हम समता $s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w}$ को घटक-दर-घटक लिखते हैं। चित्र में, $\vec{u} = \left( 2, 1 \right)$ , $\vec{v} = \left( 1, 3 \right)$ और $\vec{w} = \left( 4, 7 \right)$ ।
$\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}$
निकाय का सारणिक शून्य नहीं है, समांतरता की कसौटी से, क्योंकि सदिश समांतर नहीं हैं। चित्र में, $2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$ ।
$s = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}$
क्रेमर नियम से निकाय का ठीक एक हल है, जो निम्नलिखित भागफलों से दिया जाता है। चित्र में, $s = \frac{12 - 7}{5} = 1$ और $t = \frac{14 - 4}{5} = 2$ , और वास्तव में $\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}$ ।
$s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}$
विशेष रूप से, यदि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के दो रैखिक संयोजन बराबर हैं, तो दोनों उसी $\vec{w}$ वाले निकाय के हल हैं, और उनके गुणांक संपाती होते हैं। गुणांकों की यह तुलना इस पाठ की कई उपपत्तियों का उपकरण है।

इस पाठ के शेष भाग में

परिमाण और अदिश गुणनफल
किसी सदिश का परिमाण
अदिश गुणनफल
लंब सदिश
कॉशी-श्वार्ज़ असमिका और त्रिभुज असमिका
लांबिक प्रक्षेप
अदिश गुणनफल का चिह्न और कोण
सदिश और प्राचलिक रूप में रेखा
सदिश समीकरण और प्राचलिक समीकरण
अभिलंब सदिश और किसी बिंदु की रेखा से दूरी
प्राचलों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन
रेखाखंड और दिए गए अनुपात में विभाजन
एकसमान गति
हल किए गए प्रश्न
समचतुर्भुज के विकर्ण
त्रिभुज की माध्यिकाएँ
वारिन्यों का समांतर चतुर्भुज
दर्पण में परावर्तन
दो जहाज़ों का अधिकतम निकट आना
अभ्यास प्रश्न
समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका
एक रैखिक व्यंजक का अधिकतम मान
त्रिभुज की दो चेवियन रेखाएँ
एक-दूसरे को काटते पथ
त्रिभुज के शीर्षलंब

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