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Topos Uranos
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Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta

Riepilogo

Questa lezione introduce i vettori del piano, che rappresentano spostamenti, come coppie ordinate di numeri reali, e ne definisce la somma, il prodotto per un numero, la norma e il prodotto scalare, con le loro proprietà. Dal prodotto scalare si deducono la condizione di perpendicolarità, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disuguaglianza triangolare, la proiezione ortogonale e la classificazione degli angoli in acuti, retti e ottusi. Con i vettori si scrive la retta in forma vettoriale e parametrica, se ne ottengono il vettore normale e la formula della distanza di un punto da una retta, si intersecano rette date mediante parametri, si dividono segmenti in un rapporto dato e si descrive il moto uniforme; i problemi applicano questi strumenti a dimostrazioni geometriche, alla riflessione su uno specchio e all’avvicinamento di due corpi in moto.

Obiettivi di apprendimento

  1. Operare con i vettori del piano, per componenti e geometricamente, ed esprimere un vettore come combinazione lineare di altri due.
  2. Calcolare norme e prodotti scalari, e usarli per riconoscere vettori perpendicolari, classificare angoli e proiettare un vettore su un altro.
  3. Scrivere una retta in forma vettoriale, parametrica e generale, passare da una forma all’altra, e calcolare con i vettori intersezioni, distanze e punti che dividono un segmento.
  4. Dimostrare proprietà geometriche mediante i vettori e modellizzare il moto uniforme con rette parametriche.

Vettori nel piano

Nella lezione sull’equazione della retta ogni punto del piano è stato identificato con la coppia delle sue coordinate. Molte grandezze, tuttavia, non si descrivono con un punto ma con uno spostamento: avanzare di tre unità verso destra e di due verso l’alto è la stessa istruzione, qualunque sia il punto di partenza. Lo stesso accade con la velocità o con la forza, che hanno un’intensità, una direzione e un verso, e che si studiano nel corso di Fondamenti di Meccanica. Uno spostamento si disegna come una freccia, ed è determinato da due numeri: l’avanzamento orizzontale e l’avanzamento verticale. Se è così, la definizione naturale è questa.

Un vettore del piano è una coppia ordinata di numeri reali, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right); i numeri u1u_1 e u2u_2 sono le sue componenti. Il vettore che va dal punto P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) al punto Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) è la coppia delle differenze delle loro coordinate, e si scrive PQ⃗\vec{PQ}; la freccia di origine PP ed estremo QQ lo rappresenta.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Uno stesso vettore ha infinite rappresentazioni: due frecce rappresentano lo stesso vettore quando producono lo stesso avanzamento orizzontale e lo stesso avanzamento verticale, cioè quando l’una si ottiene dall’altra con una traslazione. Fra tutte ce n’è una sola che parte dall’origine OO, la freccia che termina nel punto (u1,u2)(u_1, u_2). Ne segue che il vettore OP⃗\vec{OP}, detto vettore posizione del punto PP, ha per componenti le coordinate del punto PP. In ciò che segue si scrive P+u⃗P + \vec{u} per il punto a cui si arriva partendo dal punto PP con lo spostamento u⃗\vec{u}, cioè l’estremo della freccia che rappresenta il vettore u⃗\vec{u} con origine nel punto PP. Il vettore nullo 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) corrisponde a non muoversi, e l’opposto del vettore u⃗\vec{u} è −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), lo spostamento contrario; così, QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

LemmaVettori uguali e parallelogrammi

Siano PP, QQ, RR e SS punti del piano. Le uguaglianze PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} e PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} sono equivalenti, ed entrambe equivalgono al fatto che i segmenti PSPS e QRQR abbiano lo stesso punto medio. Se i quattro punti non sono allineati, PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} se e solo se il quadrilatero di vertici PP, QQ, SS e RR, in quest’ordine, è un parallelogramma.

Le tre equivalenze si riducono a riordinare un’uguaglianza fra numeri, coordinata per coordinata; l’ultima si appoggia sul teorema dell’intersezione di due rette della lezione sulla retta. Chiamiamo p1p_1, q1q_1, r1r_1 e s1s_1 le ascisse dei quattro punti.

Dimostrazione

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    L’uguaglianza delle prime componenti dei vettori PQ⃗\vec{PQ} e RS⃗\vec{RS} equivale, sommando la quantità r1−q1r_1 - q_1 a entrambi i membri, all’uguaglianza delle prime componenti dei vettori PR⃗\vec{PR} e QS⃗\vec{QS}. Nella figura, P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) e S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    La stessa uguaglianza equivale, sommando le quantità p1p_1 e r1r_1 a entrambi i membri e dividendo per 22, al fatto che i punti medi dei segmenti PSPS e QRQR abbiano la stessa ascissa. Con le ordinate si ragiona allo stesso modo; pertanto le tre affermazioni sono equivalenti.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Supponiamo ora che i quattro punti non siano allineati e che PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. Le rette PQPQ e RSRS hanno la stessa direzione: lo stesso coefficiente angolare, il quoziente delle componenti di quel vettore, oppure sono entrambe verticali se la sua prima componente è nulla. Sono distinte, perché se coincidessero i quattro punti sarebbero allineati; pertanto sono parallele: se non sono verticali, per il teorema dell’intersezione di due rette non verticali, e se lo sono, perché due rette verticali distinte non si intersecano.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    Per la prima equivalenza vale anche PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}, e lo stesso argomento mostra che i lati PRPR e QSQS sono paralleli. I lati opposti del quadrilatero PQSRPQSR sono paralleli a due a due: è un parallelogramma.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Viceversa, sia PQSRPQSR un parallelogramma e sia S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. Per quanto già dimostrato, applicato ai punti PP, QQ, RR e S1S_1, il punto S1S_1 sta sulla parallela alla retta PQPQ condotta per il punto RR e sulla parallela alla retta PRPR condotta per il punto QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Queste due parallele non sono parallele fra loro, perché i punti PP, QQ e RR non sono allineati, e si intersecano in un solo punto. Poiché anche il vertice SS del parallelogramma sta su entrambe, coincide con il punto S1S_1.

EsempioIl vettore che va da un punto a un altro

Calcolare il vettore che va dal punto P=(1,1)P = (1, 1) al punto Q=(4,3)Q = (4, 3), trasportarlo nel punto R=(−2,2)R = (-2, 2) e nell’origine, e confrontarlo con il vettore che va dal punto QQ al punto PP.

Dimostrazione

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Sottraiamo le coordinate dell’origine della freccia da quelle del suo estremo: lo spostamento è di 33 unità verso destra e di 22 verso l’alto.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    Con origine nel punto RR, lo stesso spostamento porta al punto SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    Per il lemma, sono uguali anche i vettori PR⃗\vec{PR} e QS⃗\vec{QS}, e i punti PP, QQ, SS e RR sono i vertici di un parallelogramma.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    Con origine nel punto OO, la freccia termina nel punto AA, le cui coordinate sono le componenti del vettore: PQ⃗\vec{PQ} è il vettore posizione del punto AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    La freccia che va dal punto QQ al punto PP percorre lo stesso segmento in verso contrario: rappresenta il vettore opposto.

La somma di vettori e il prodotto per un numero

La somma dei vettori u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) e v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) è u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), e il prodotto del numero reale tt per il vettore u⃗\vec{u} è tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). La differenza dei vettori u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} è u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

La somma corrisponde a eseguire spostamenti uno dopo l’altro: se si percorre u⃗\vec{u} e poi v⃗\vec{v}, l’avanzamento orizzontale totale è u1+v1u_1 + v_1 e quello verticale u2+v2u_2 + v_2. In termini di punti, per tre punti qualsiasi AA, BB e CC vale la relazione di Chasles, perché le differenze di coordinate si compongono l’una dopo l’altra: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, e lo stesso con le ordinate.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Ne seguono due costruzioni della somma: la regola del triangolo, che pone l’origine di v⃗\vec{v} nell’estremo di u⃗\vec{u}, e la regola del parallelogramma, che disegna entrambi i vettori con la stessa origine e prende la diagonale del parallelogramma che essi determinano. In particolare, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: ogni vettore fra due punti è la differenza dei loro vettori posizione. Il prodotto tu⃗t \vec{u}, da parte sua, moltiplica entrambi gli avanzamenti per tt: se t>0t > 0, conserva la direzione e il verso di u⃗\vec{u}; se t<0t < 0, conserva la direzione e inverte il verso; e, come si vedrà con la norma, moltiplica la lunghezza per ∣t∣\abs{t}.

EsempioLa somma, la differenza e la regola del parallelogramma

Siano u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) e v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Costruire il vettore u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} con la regola del triangolo e con quella del parallelogramma, e costruire il vettore u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Dimostrazione

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Disegniamo entrambi i vettori con origine nel punto OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Regola del triangolo: con origine nell’estremo di u⃗\vec{u}, il vettore v⃗\vec{v} porta al punto (5,4)(5, 4); la somma si calcola componente per componente.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Regola del parallelogramma: se si percorre prima v⃗\vec{v} e poi u⃗\vec{u}, si arriva allo stesso punto. La somma è la diagonale del parallelogramma di lati u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} che parte dal punto OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    L’opposto di v⃗\vec{v} è il suo prodotto per il numero −1-1: ha la stessa lunghezza e il verso contrario.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    La differenza è la somma dei vettori u⃗\vec{u} e −v⃗-\vec{v}. Trasportata, è la freccia che va dall’estremo di v⃗\vec{v} all’estremo di u⃗\vec{u}: l’altra diagonale del parallelogramma.

Le due operazioni ereditano dai numeri reali le proprietà elencate qui sotto, valide per tutti i vettori u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} e w⃗\vec{w} e tutti i reali ss e tt:

  1. Commutatività della somma: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Associatività della somma: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Elemento neutro: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Elemento opposto: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Associatività del prodotto: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Neutralità di uno: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Distributività rispetto alla somma di vettori: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Distributività rispetto alla somma di numeri: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
TeoremaProprietà delle operazioni con i vettori

Per tutti i vettori u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} e w⃗\vec{w} del piano e tutti i reali ss e tt valgono le otto proprietà dell’elenco precedente.

Le due operazioni agiscono componente per componente, cosicché ogni proprietà si riduce alla proprietà corrispondente dei numeri reali, applicata in ciascuna componente. Basta scrivere la prima componente, perché la seconda è identica con l’indice 22.

Dimostrazione

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Commutatività e associatività: si ereditano da quelle della somma di numeri reali.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Neutro e opposto: il vettore 00 è neutro per la somma e −u1-u_1 è l’opposto di u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Associatività del prodotto e neutralità di uno: il prodotto di reali è associativo e ha il numero 11 come neutro.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    Le due distributività: il prodotto di reali è distributivo rispetto alla somma.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Due vettori sono uguali se e solo se lo sono le loro due componenti; pertanto le otto uguaglianze valgono fra vettori. Per esempio, la prima.

Queste otto proprietà sono gli assiomi di spazio vettoriale: ogni insieme i cui elementi si sommano fra loro e si moltiplicano per numeri reali rispettando queste otto regole si chiama spazio vettoriale, e tutto ciò che se ne deduca senza usare componenti varrà in ciascuno di essi. I polinomi della lezione sull’algebra dei polinomi, con la loro somma e il loro prodotto per un numero, formano un altro spazio vettoriale.

Combinazioni lineari e vettori paralleli

Una combinazione lineare dei vettori u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} è un vettore della forma su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}, con ss e tt reali. I vettori e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) e e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), che avanzano di un’unità nella direzione di ciascun asse, permettono di scrivere ogni vettore come loro combinazione, e in un solo modo, perché il vettore ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) è uguale a u⃗\vec{u} solo se a=u1a = u_1 e b=u2b = u_2. Per questo si chiamano la base canonica del piano:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Due vettori non nulli u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} sono paralleli quando l’uno è multiplo dell’altro, cioè quando v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} per qualche reale tt, che non può essere nullo; hanno lo stesso verso se t>0t > 0 e versi contrari se t<0t < 0. Le frecce che li rappresentano con una stessa origine stanno allora su una stessa retta.

LemmaCriterio di parallelismo

Due vettori non nulli u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} sono paralleli se e solo se u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Un’implicazione è un calcolo; per l’altra bisogna costruire il numero tt tale che v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, dividendo per una componente non nulla del vettore u⃗\vec{u}.

Dimostrazione

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Se v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, le componenti del vettore v⃗\vec{v} sono tu1t u_1 e tu2t u_2, e l’espressione si annulla. Nella figura, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) e v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Viceversa, supponiamo che l’espressione si annulli, e supponiamo dapprima u1≠0u_1 \neq 0. Definiamo tt come il quoziente delle prime componenti, cosicché la prima componente del vettore v⃗\vec{v} è tu1t u_1. Nella figura, t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Ricaviamo v2v_2 dall’ipotesi: anche la seconda componente è tu2t u_2, e pertanto v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Nella figura, 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Se u1=0u_1 = 0, allora u2≠0u_2 \neq 0, perché u⃗\vec{u} non è nullo; l’ipotesi dà u2v1=0u_2 v_1 = 0, da cui v1=0v_1 = 0, e con il quoziente delle seconde componenti risulta v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Nella figura, u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) e v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), con t=−32t = -\frac{3}{2}.

Il numero u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 è il determinante della lezione sui sistemi lineari, e il lemma seguente ne spiega il motivo.

LemmaCombinazioni di due vettori non paralleli

Se u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} sono vettori non nulli e non paralleli, ogni vettore w⃗\vec{w} è combinazione lineare di essi in un unico modo: esistono numeri ss e tt, e una sola coppia, tali che w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

L’uguaglianza cercata, scritta per componenti, è un sistema di due equazioni lineari nelle incognite ss e tt, e basta applicarle la regola di Cramer.

Dimostrazione

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Scriviamo l’uguaglianza su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} componente per componente. Nella figura, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) e w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    Il determinante del sistema non è nullo, per il criterio di parallelismo, perché i vettori non sono paralleli. Nella figura, 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    Per la regola di Cramer, il sistema ha esattamente una soluzione, data dai quozienti seguenti. Nella figura, s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 e t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, e infatti w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    In particolare, se due combinazioni dei vettori u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} sono uguali, entrambe sono la soluzione del sistema con lo stesso vettore w⃗\vec{w}, e i loro coefficienti coincidono. Questo confronto dei coefficienti è lo strumento di varie dimostrazioni della lezione.