انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

المتجهات في المستوى والمعادلات الوسيطية للمستقيم

ملخص

يقدّم هذا الدرس متجهات المستوى، التي تمثّل إزاحات، بوصفها أزواجًا مرتبة من الأعداد الحقيقية، ويعرّف مجموعها وضربها في عدد ونظيمها وجداءها السلمي، مع خواصّها. ومن الجداء السلمي يُستنتج شرط التعامد ومتباينة كوشي-شفارتز والمتباينة المثلثية والإسقاط العمودي وتصنيف الزوايا إلى حادّة وقائمة ومنفرجة. وبالمتجهات يُكتب المستقيم في شكل متجهي ووسيطي، ويُحصل على متجهه الناظمي وعلى صيغة المسافة من نقطة إلى مستقيم، ويُحسب تقاطع مستقيمات معطاة بوسطاء، وتُقسم القطع المستقيمة بنسبة معلومة، وتوصف الحركة المنتظمة؛ وتطبّق المسائل هذه الأدوات على براهين هندسية وعلى الانعكاس في مرآة وعلى اقتراب متحرّكين أحدهما من الآخر.

أهداف التعلم

  1. إجراء العمليات على متجهات المستوى، بالمركبات وهندسيًا، والتعبير عن متجه بوصفه تركيبًا خطيًا لمتجهين آخرين.
  2. حساب النظيمات والجداءات السلمية، واستعمالها للتعرّف على المتجهات المتعامدة وتصنيف الزوايا وإسقاط متجه على آخر.
  3. كتابة المستقيم في الشكل المتجهي والوسيطي والعام، والانتقال من شكل إلى آخر، وحساب التقاطعات والمسافات والنقاط التي تقسم قطعة مستقيمة باستعمال المتجهات.
  4. البرهان على خواص هندسية بواسطة المتجهات، ونمذجة الحركة المنتظمة بمستقيمات وسيطية.

المتجهات في المستوى

في الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم طوبقت كل نقطة من المستوى مع زوج إحداثياتها. غير أن كثيرًا من المقادير لا يوصف بنقطة بل بإزاحة: فالتقدّم ثلاثًا نحو اليمين واثنتين نحو الأعلى هو التعليمة نفسها أيًا كانت نقطة الانطلاق. وكذلك الأمر في السرعة المتجهة أو القوة، اللتين لكل منهما شدّة وحامل واتجاه، واللتين تُدرسان في مقرّر أساسيات الميكانيكا. والإزاحة تُرسم سهمًا، وتتحدّد بعددين: التقدّم الأفقي والتقدّم الرأسي. وإذا كان الأمر كذلك، فالتعريف الطبيعي هو الآتي.

المتجه في المستوى زوج مرتب من الأعداد الحقيقية، u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)؛ والعددان u1u_1 وu2u_2 هما مركبتاه. والمتجه الذي يذهب من النقطة P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) إلى النقطة Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) هو زوج الفروق بين إحداثياتهما، ويُكتب PQ⃗\vec{PQ}؛ والسهم الذي أصله PP وطرفه QQ يمثّله.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

للمتجه الواحد تمثيلات لا نهاية لعددها: يمثّل سهمان المتجه نفسه حين يُحدثان التقدّم الأفقي نفسه والتقدّم الرأسي نفسه، أي حين يُحصل على أحدهما من الآخر بانسحاب. ومن بينها كلها سهم واحد فقط ينطلق من الأصل OO، وهو السهم الذي ينتهي عند النقطة (u1,u2)(u_1, u_2). ومن ذلك يلزم أن OP⃗\vec{OP}، المسمّى متجه الموضع للنقطة PP، مركّبتاه هما إحداثيا PP. وفيما يأتي نكتب P+u⃗P + \vec{u} للنقطة التي نصل إليها من PP بالإزاحة u⃗\vec{u}، أي طرف السهم الذي يمثّل u⃗\vec{u} وأصله PP. ويقابل المتجه المنعدم 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) عدمَ التحرّك، ومقابل u⃗\vec{u} هو −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right)، الإزاحة المعاكسة؛ وهكذا QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

توطئةالمتجهات المتساوية ومتوازيات الأضلاع

لتكن PP وQQ وRR وSS نقاطًا من المستوى. المساواتان PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} وPR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} متكافئتان، وكلتاهما تكافئ أن يكون للقطعتين المستقيمتين PSPS وQRQR المنتصف نفسه. وإذا لم تكن النقاط الأربع على استقامة واحدة، فإن PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} إذا وفقط إذا كان الرباعي الذي رؤوسه PP وQQ وSS وRR، بهذا الترتيب، متوازي أضلاع.

تؤول التكافؤات الثلاثة إلى نقل حدود في مساواة بين أعداد، إحداثية بإحداثية؛ ويستند الأخير منها إلى مبرهنة تقاطع مستقيمين من الدرس الخاص بالمستقيم. نسمّي p1p_1 وq1q_1 وr1r_1 وs1s_1 فواصل النقاط الأربع.

البرهان

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    مساواة المركبتين الأوليين لـ PQ⃗\vec{PQ} وRS⃗\vec{RS} تكافئ، بإضافة r1−q1r_1 - q_1 إلى الطرفين، مساواة المركبتين الأوليين لـ PR⃗\vec{PR} وQS⃗\vec{QS}. وفي الرسم P=(1,0)P = (1, 0) وQ=(5,1)Q = (5, 1) وR=(2,3)R = (2, 3) وS=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    والمساواة نفسها تكافئ، بإضافة p1p_1 وr1r_1 إلى الطرفين والقسمة على 22، أن يكون لمنتصفي PSPS وQRQR الفاصلة نفسها. ويجري الاستدلال بالترتيبات بالطريقة نفسها؛ ومن ثمّ فالعبارات الثلاث متكافئة.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    لنفترض الآن أن النقاط الأربع ليست على استقامة واحدة وأن PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. للمستقيمين PQPQ وRSRS المنحى نفسه: الميل نفسه، وهو خارج قسمة مركبتي ذلك المتجه، أو هما رأسيان كلاهما إذا كانت مركبته الأولى منعدمة. وهما مختلفان، لأنهما لو انطبقا لكانت النقاط الأربع على استقامة واحدة؛ إذن هما متوازيان: إن لم يكونا رأسيين فبمبرهنة تقاطع مستقيمين غير رأسيين، وإن كانا رأسيين فلأن المستقيمين الرأسيين المختلفين لا يتقاطعان.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    وبمقتضى التكافؤ الأول، لدينا أيضًا PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}، والحجة نفسها تبيّن أن الضلعين PRPR وQSQS متوازيان. فالأضلاع المتقابلة في الرباعي PQSRPQSR متوازية مثنى مثنى: إنه متوازي أضلاع.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    وبالعكس، ليكن PQSRPQSR متوازي أضلاع وليكن S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. بما سبق إثباته، مطبّقًا على النقاط PP وQQ وRR وS1S_1، تقع النقطة S1S_1 على الموازي لـ PQPQ المرسوم من RR وعلى الموازي لـ PRPR المرسوم من QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    وهذان الموازيان ليسا متوازيين فيما بينهما، لأن PP وQQ وRR ليست على استقامة واحدة، فهما يتقاطعان في نقطة وحيدة. وبما أن الرأس SS من متوازي الأضلاع يقع أيضًا على كليهما، فهو ينطبق على S1S_1.

مثالالمتجه الذي يذهب من نقطة إلى أخرى

احسب المتجه الذي يذهب من P=(1,1)P = (1, 1) إلى Q=(4,3)Q = (4, 3)، وانقله إلى النقطة R=(−2,2)R = (-2, 2) وإلى الأصل، وقارنه بالمتجه الذي يذهب من QQ إلى PP.

البرهان

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    نطرح إحداثيات أصل السهم من إحداثيات طرفه: الإزاحة بمقدار 33 نحو اليمين و22 نحو الأعلى.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    بأصل عند RR، تؤدي الإزاحة نفسها إلى النقطة SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    وبمقتضى التوطئة، يتساوى أيضًا PR⃗\vec{PR} وQS⃗\vec{QS}، والنقاط PP وQQ وSS وRR رؤوس متوازي أضلاع.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    بأصل عند OO، ينتهي السهم عند النقطة AA التي إحداثياتها هي مركبتا المتجه: PQ⃗\vec{PQ} هو متجه الموضع للنقطة AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    السهم الذي يذهب من QQ إلى PP يقطع القطعة المستقيمة نفسها في الاتجاه المعاكس: إنه يمثّل المتجه المقابل.

جمع المتجهات وضرب متجه في عدد

مجموع المتجهين u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) وv⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) هو u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right)، وجداء العدد الحقيقي tt في u⃗\vec{u} هو tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). والفرق بين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} هو u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

يقابل الجمعُ إجراءَ الإزاحات واحدة بعد أخرى: إذا قُطع u⃗\vec{u} ثم بعده v⃗\vec{v}، فإن التقدّم الأفقي الكلي هو u1+v1u_1 + v_1 والرأسي u2+v2u_2 + v_2. وبلغة النقاط، تتحقق علاقة شال لأي ثلاث نقاط AA وBB وCC، لأن فروق الإحداثيات يُضاف بعضها إلى بعض على التوالي: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1، وكذلك في الترتيبات.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

ومن ذلك تنتج طريقتان لإنشاء المجموع: قاعدة المثلث، التي تضع أصل v⃗\vec{v} عند طرف u⃗\vec{u}، وقاعدة متوازي الأضلاع، التي ترسم المتجهين بأصل مشترك وتأخذ قطر متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه. وعلى الخصوص، PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: كل متجه بين نقطتين هو الفرق بين متجهي موضعهما. أما الجداء tu⃗t \vec{u} فيضرب التقدّمين كليهما في tt: إذا كان t>0t > 0 حافظ على حامل u⃗\vec{u} واتجاهه؛ وإذا كان t<0t < 0 حافظ على الحامل وعكس الاتجاه؛ وكما سيتبيّن مع النظيم، يضرب الطول في ∣t∣\abs{t}.

مثالالمجموع والفرق وقاعدة متوازي الأضلاع

ليكن u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) وv⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). أنشئ u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} بقاعدة المثلث وبقاعدة متوازي الأضلاع، وأنشئ u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

البرهان

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    نرسم المتجهين كليهما بأصل عند OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    قاعدة المثلث: بأصل عند طرف u⃗\vec{u}، يؤدي v⃗\vec{v} إلى النقطة (5,4)(5, 4)؛ ويُحسب المجموع مركبةً بمركبة.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    قاعدة متوازي الأضلاع: إذا قُطع أولًا v⃗\vec{v} ثم u⃗\vec{u}، يُوصل إلى النقطة نفسها. والمجموع هو قطر متوازي الأضلاع الذي ضلعاه u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} والمنطلق من OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    مقابل v⃗\vec{v} هو جداؤه في −1-1: له الطول نفسه والاتجاه المعاكس.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    الفرق هو مجموع u⃗\vec{u} و−v⃗-\vec{v}. وبعد نقله، هو السهم الذي يذهب من طرف v⃗\vec{v} إلى طرف u⃗\vec{u}: القطر الآخر لمتوازي الأضلاع.

ترث العمليتان من الأعداد الحقيقية الخواص الآتية، الصالحة لجميع المتجهات u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} وw⃗\vec{w} ولجميع الأعداد الحقيقية ss وtt:

  1. تبديلية الجمع: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. تجميعية الجمع: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. العنصر المحايد: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. العنصر المقابل: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. تجميعية الضرب: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. الواحد: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. التوزيعية بالنسبة إلى جمع المتجهات: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. التوزيعية بالنسبة إلى جمع الأعداد: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
مبرهنةخواص العمليات على المتجهات

لجميع المتجهات u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} وw⃗\vec{w} في المستوى ولجميع الأعداد الحقيقية ss وtt تتحقق الخواص الثماني في القائمة السابقة.

تعمل العمليتان مركبةً بمركبة، فتؤول كل خاصية إلى الخاصية المقابلة لها في الأعداد الحقيقية، مطبّقة في كل مركبة. ويكفي كتابة المركبة الأولى، لأن الثانية مماثلة لها بالدليل 22.

البرهان

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    التبديلية والتجميعية: موروثتان من تبديلية جمع الأعداد الحقيقية وتجميعيته.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    المحايد والمقابل: 00 محايد بالنسبة إلى الجمع و−u1-u_1 هو مقابل u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    تجميعية الضرب والواحد: ضرب الأعداد الحقيقية تجميعي وعنصره المحايد 11.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    التوزيعيتان: ضرب الأعداد الحقيقية توزيعي بالنسبة إلى الجمع.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    يتساوى متجهان إذا وفقط إذا تساوت مركبتاهما؛ ومن ثمّ فالمساواات الثماني صحيحة بين المتجهات. على سبيل المثال، الأولى.

هذه الخواص الثماني هي مسلّمات الفضاء المتجهي: كل مجموعة تُجمع عناصرها فيما بينها وتُضرب في أعداد حقيقية مع تحقيق هذه القواعد الثماني تسمّى فضاءً متجهيًا، وكل ما يُستنتج منها دون استعمال المركبات يصحّ في أي فضاء من هذا النوع. وكثيرات الحدود في الدرس الخاص بـجبر كثيرات الحدود، بجمعها وضربها في عدد، تكوّن فضاءً متجهيًا آخر.

التركيبات الخطية والمتجهات المتوازية

التركيب الخطي للمتجهين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} متجه على الشكل su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}، حيث ss وtt عددان حقيقيان. والمتجهان e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) وe⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right)، اللذان يتقدّمان بمقدار واحد في منحى كل محور، يسمحان بكتابة كل متجه تركيبًا منهما، وبطريقة واحدة فقط، لأن ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) يساوي u⃗\vec{u} فقط إذا كان a=u1a = u_1 وb=u2b = u_2. ولذلك يسمّيان الأساس القانوني للمستوى:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

يكون متجهان غير منعدمين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} متوازيين حين يكون أحدهما مضاعفًا للآخر، أي حين v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} لعدد حقيقي ما tt، لا يمكن أن يكون منعدمًا؛ ولهما الاتجاه نفسه إذا كان t>0t > 0 واتجاهان متعاكسان إذا كان t<0t < 0. والسهمان اللذان يمثّلانهما بأصل مشترك يقعان حينئذ على مستقيم واحد.

توطئةمعيار التوازي

يكون متجهان غير منعدمين u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} متوازيين إذا وفقط إذا u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

أحد الاستلزامين حساب؛ وللآخر ينبغي صنع العدد tt بحيث v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}، بالقسمة على مركبة غير منعدمة لـ u⃗\vec{u}.

البرهان

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    إذا كان v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}، فمركبتا v⃗\vec{v} هما tu1t u_1 وtu2t u_2، والعبارة تنعدم. وفي الرسم u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) وv⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    وبالعكس، لنفترض أن العبارة تنعدم، ولنفترض أولًا u1≠0u_1 \neq 0. نعرّف tt بأنه خارج قسمة المركبتين الأوليين، بحيث تكون المركبة الأولى لـ v⃗\vec{v} هي tu1t u_1. وفي الرسم t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    نعزل v2v_2 في الفرض: المركبة الثانية أيضًا هي tu2t u_2، ومن ثمّ v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. وفي الرسم 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    إذا كان u1=0u_1 = 0، فإن u2≠0u_2 \neq 0، لأن u⃗\vec{u} غير منعدم؛ والفرض يعطي u2v1=0u_2 v_1 = 0، ومنه v1=0v_1 = 0، وبخارج قسمة المركبتين الثانيتين ينتج v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. وفي الرسم u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) وv⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right)، مع t=−32t = -\frac{3}{2}.

العدد u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 هو المحدِّدة في الدرس الخاص بـالأنظمة الخطية، والتوطئة الآتية تشرح السبب.

توطئةتركيبات متجهين غير متوازيين

إذا كان u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v} متجهين غير منعدمين وغير متوازيين، فكل w⃗\vec{w} تركيب خطي لهما بطريقة وحيدة: يوجد عددان ss وtt، وزوج واحد فقط منهما، بحيث w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

المساواة المطلوبة، مكتوبة بالمركبات، نظام من معادلتين خطيتين في المجهولين ss وtt، ويكفي تطبيق قاعدة كرامر عليه.

البرهان

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    نكتب المساواة su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} مركبةً بمركبة. وفي الرسم u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) وv⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) وw⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    محدِّدة النظام غير منعدمة، بمعيار التوازي، لأن المتجهين غير متوازيين. وفي الرسم 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    بقاعدة كرامر، للنظام حلّ واحد بالضبط، تعطيه خوارج القسمة الآتية. وفي الرسم s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 وt=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2، وفعلًا w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    وعلى الخصوص، إذا تساوى تركيبان لـ u⃗\vec{u} وv⃗\vec{v}، فكلاهما حلّ النظام ذي w⃗\vec{w} نفسه، فتتطابق معاملاتهما. ومقارنة المعاملات هذه هي أداة عدة براهين في الدرس.