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Topos Uranos
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평면벡터와 직선의 매개변수방정식

요약

이 수업은 변위를 나타내는 평면벡터를 실수의 순서쌍으로 도입하고, 그 합, 실수배, 크기, 내적을 정의하여 그 성질을 다룬다. 내적으로부터 수직 조건, 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식, 정사영, 그리고 각을 예각, 직각, 둔각으로 분류하는 방법이 유도된다. 벡터를 이용하여 직선을 벡터 꼴과 매개변수 꼴로 나타내고, 그 법선벡터와 점과 직선 사이의 거리 공식을 얻으며, 매개변수로 주어진 직선들의 교점을 구하고, 선분을 주어진 비로 나누고, 등속 운동을 기술한다. 문제에서는 이 도구들을 기하학적 증명, 거울에서의 반사, 그리고 움직이는 두 물체의 접근에 적용한다.

학습 목표

  1. 평면벡터를 성분으로, 그리고 기하학적으로 연산하고, 한 벡터를 다른 두 벡터의 일차결합으로 나타낸다.
  2. 크기와 내적을 계산하고, 이를 이용하여 수직인 벡터를 판별하고, 각을 분류하고, 한 벡터를 다른 벡터 위로 정사영한다.
  3. 직선을 벡터 꼴, 매개변수 꼴, 일반형으로 쓰고, 한 꼴에서 다른 꼴로 바꾸며, 벡터를 이용하여 교점, 거리, 선분을 나누는 점을 계산한다.
  4. 벡터를 이용하여 기하학적 성질을 증명하고, 매개변수로 나타낸 직선으로 등속 운동을 모형화한다.

평면벡터

직선의 방정식에 관한 수업에서는 평면의 각 점을 그 좌표의 쌍과 동일시하였다. 그러나 많은 양은 점이 아니라 변위로 기술된다. 오른쪽으로 세 단위, 위로 두 단위 나아가는 것은 출발점이 어디이든 같은 지시이다. 속도나 힘도 마찬가지이다. 이것들은 크기, 방향, 향을 가지며, 역학의 기초 강좌에서 다룬다. 변위는 화살표로 그리며, 두 수, 즉 가로 방향의 이동과 세로 방향의 이동으로 정해진다. 그렇다면 자연스러운 정의는 다음과 같다.

평면의 벡터는 실수의 순서쌍 u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)이다. 수 u1u_1과 u2u_2를 그 성분이라 한다. 점 P=(x1,y1)P = (x_1, y_1)에서 점 Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2)로 가는 벡터는 두 점의 좌표의 차로 이루어진 쌍이며, PQ⃗\vec{PQ}로 쓴다. 시점이 PP이고 종점이 QQ인 화살표가 이 벡터를 나타낸다.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

같은 벡터를 나타내는 방법은 무수히 많다. 두 화살표는 가로 방향의 이동과 세로 방향의 이동이 같을 때, 즉 한쪽을 평행이동하여 다른 쪽을 얻을 때 같은 벡터를 나타낸다. 그 가운데 원점 OO에서 출발하는 것은 하나뿐이며, 그것은 점 (u1,u2)(u_1, u_2)에서 끝나는 화살표이다. 따라서 OP⃗\vec{OP}(PP의 위치벡터라 한다)의 성분은 PP의 좌표이다. 이하에서는 P+u⃗P + \vec{u}로 점(PP에서 변위 u⃗\vec{u}만큼 이동하여 도달하는 점)을 나타낸다. 즉 화살표(u⃗\vec{u}를 나타내고 시점이 PP인 것)의 종점이다. 영벡터 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right)은 움직이지 않는 것에 해당하고, u⃗\vec{u}의 역벡터는 −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), 즉 반대로 향하는 변위이다. 그러므로 QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}이다.

보조정리같은 벡터와 평행사변형

PP, QQ, RR, SS를 평면 위의 점이라 하자. 등식 PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}와 PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}는 동치이고, 둘 다 선분 PSPS와 QRQR의 중점이 같다는 것과 동치이다. 네 점이 한 직선 위에 있지 않으면, PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}일 필요충분조건은 꼭짓점이 차례로 PP, QQ, SS, RR인 사각형이 평행사변형인 것이다.

세 동치 관계는 수 사이의 등식을 좌표별로 재배열하는 것으로 귀착되며, 마지막 것은 직선에 관한 수업의 두 직선의 교점에 관한 정리에 기댄다. 네 점의 가로 좌표를 차례로 p1p_1, q1q_1, r1r_1, s1s_1로 나타낸다.

증명

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    PQ⃗\vec{PQ}와 RS⃗\vec{RS}의 첫째 성분이 같다는 것은, 양변에 r1−q1r_1 - q_1을 더하면, PR⃗\vec{PR}과 QS⃗\vec{QS}의 첫째 성분이 같다는 것과 동치이다. 그림에서 P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3), S=(6,4)S = (6, 4)이다.

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    같은 등식은, 양변에 p1p_1과 r1r_1을 더하고 22로 나누면, PSPS와 QRQR의 중점이 같은 가로 좌표를 가진다는 것과 동치이다. 세로 좌표에 대해서도 같은 방식으로 추론한다. 따라서 세 명제는 동치이다.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    이제 네 점이 한 직선 위에 있지 않고 PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}가 성립한다고 하자. 직선 PQPQ와 RSRS는 같은 방향을 가진다. 즉 기울기, 곧 그 벡터의 성분의 몫이 같거나, 그 첫째 성분이 영이면 둘 다 연직선이다. 두 직선은 서로 다르다. 일치한다면 네 점이 한 직선 위에 있게 되기 때문이다. 따라서 두 직선은 평행하다. 연직이 아니면 연직이 아닌 두 직선의 교점에 관한 정리에 의해 평행하고, 연직이면 서로 다른 두 연직선은 만나지 않기 때문에 평행하다.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    첫째 부분에 의해 PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}도 성립하고, 같은 논법으로 변 PRPR과 QSQS가 평행함을 보일 수 있다. 사각형 PQSRPQSR의 대변은 두 쌍 모두 평행하다. 즉 평행사변형이다.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    역으로, PQSRPQSR을 평행사변형이라 하고 S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}로 놓자. 이미 증명한 것을 점 PP, QQ, RR, S1S_1에 적용하면, 점 S1S_1은 PQPQ에 평행한 직선(RR을 지나는 것) 위에 있고, 또 PRPR에 평행한 직선(QQ를 지나는 것) 위에도 있다.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    이 두 평행선은 서로 평행하지 않다. PP, QQ, RR이 한 직선 위에 있지 않기 때문이다. 따라서 두 직선은 단 한 점에서 만난다. 평행사변형의 꼭짓점 SS도 두 직선 위에 있으므로 S1S_1과 일치한다.

예시한 점에서 다른 점으로 가는 벡터

P=(1,1)P = (1, 1)에서 Q=(4,3)Q = (4, 3)로 가는 벡터를 구하고, 그것을 점 R=(−2,2)R = (-2, 2)와 원점으로 평행이동한 뒤, QQ에서 PP로 가는 벡터와 비교하여라.

증명

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    화살표의 종점의 좌표에서 시점의 좌표를 뺀다. 변위는 오른쪽으로 33단위, 위로 22단위이다.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    시점을 RR로 하면, 같은 변위는 점 SS에 이른다.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    보조정리에 의해 PR⃗\vec{PR}과 QS⃗\vec{QS}도 같고, 점 PP, QQ, SS, RR은 평행사변형의 꼭짓점이다.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    시점을 OO로 하면, 화살표는 좌표가 벡터의 성분과 같은 점 AA에서 끝난다. 즉 PQ⃗\vec{PQ}는 AA의 위치벡터이다.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    QQ에서 PP로 가는 화살표는 같은 선분을 반대 향으로 지난다. 즉 역벡터를 나타낸다.

벡터의 합과 실수배

벡터 u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)과 v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right)의 합은 u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right)이고, 실수 tt와 벡터 u⃗\vec{u}의 곱은 tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right)이다. u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 차는 u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right)이다.

합은 변위를 이어서 하는 것에 해당한다. u⃗\vec{u}만큼 이동하고 이어서 v⃗\vec{v}만큼 이동하면, 가로 방향의 이동의 합계는 u1+v1u_1 + v_1이고 세로 방향의 합계는 u2+v2u_2 + v_2이다. 점으로 말하면, 임의의 세 점 AA, BB, CC에 대하여 샬의 관계가 성립한다. 좌표의 차가 이어지기 때문이다. 즉 (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1이며, 세로 좌표도 마찬가지이다.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

이로부터 합의 두 가지 작도법이 나온다. 삼각형 법칙은 v⃗\vec{v}의 시점을 u⃗\vec{u}의 종점에 놓고, 평행사변형 법칙은 두 벡터를 같은 시점에서 그린 뒤 그것들이 정하는 평행사변형의 대각선을 취한다. 특히 PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}이다. 즉 두 점 사이의 벡터는 그 위치벡터들의 차이다. 한편 곱 tu⃗t \vec{u}는 두 이동을 모두 tt배 한다. t>0t > 0이면 u⃗\vec{u}의 방향과 향을 유지하고, t<0t < 0이면 방향은 유지하되 향을 반대로 하며, 크기를 도입하면 알게 되듯이 길이를 ∣t∣\abs{t}배 한다.

예시합, 차, 평행사변형 법칙

u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right)과 v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right)로 놓자. u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}를 삼각형 법칙과 평행사변형 법칙으로 작도하고, u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}를 작도하여라.

증명

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    두 벡터를 시점 OO에서 그린다.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    삼각형 법칙: u⃗\vec{u}의 종점을 시점으로 하면 v⃗\vec{v}는 점 (5,4)(5, 4)에 이른다. 합은 성분별로 계산한다.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    평행사변형 법칙: 먼저 v⃗\vec{v}만큼, 다음에 u⃗\vec{u}만큼 이동해도 같은 점에 이른다. 합은 변이 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}인 평행사변형의 대각선(OO에서 출발하는 것)이다.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    v⃗\vec{v}의 역벡터는 그것의 −1-1배이다. 길이는 같고 향은 반대이다.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    차는 u⃗\vec{u}와 −v⃗-\vec{v}의 합이다. 평행이동하면 v⃗\vec{v}의 종점에서 u⃗\vec{u}의 종점으로 가는 화살표가 되며, 이것이 평행사변형의 다른 대각선이다.

두 연산은 실수로부터 다음 성질들을 물려받으며, 이 성질들은 모든 벡터 u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}와 모든 실수 ss, tt에 대하여 성립한다:

  1. 합의 교환법칙: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. 합의 결합법칙: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. 항등원: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. 역원: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. 곱의 결합법칙: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. 1배: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. 벡터의 합에 대한 분배법칙: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. 수의 합에 대한 분배법칙: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
정리벡터 연산의 성질

평면의 모든 벡터 u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}와 모든 실수 ss, tt에 대하여 앞 목록의 여덟 가지 성질이 성립한다.

두 연산은 성분별로 작용하므로, 각 성질은 실수의 대응하는 성질을 각 성분에 적용한 것으로 귀착된다. 둘째 성분은 첨자 22를 쓰면 똑같으므로 첫째 성분만 쓰면 충분하다.

증명

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    교환법칙과 결합법칙: 실수의 합의 교환법칙과 결합법칙을 물려받는다.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    항등원과 역원: 00은 합의 항등원이고 −u1-u_1은 u1u_1의 역원이다.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    곱의 결합법칙과 1배: 실수의 곱은 결합법칙을 만족하고 11을 항등원으로 가진다.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    두 분배법칙: 실수의 곱은 합에 대하여 분배법칙을 만족한다.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    두 벡터는 두 성분이 각각 같을 때, 그리고 그때에만 같다. 따라서 여덟 등식은 벡터 사이에서도 성립한다. 예를 들어 첫째 등식은 다음과 같다.

이 여덟 가지 성질이 벡터공간의 공리이다. 원소끼리 더할 수 있고 실수를 곱할 수 있으며 이 여덟 규칙을 만족하는 집합을 모두 벡터공간이라 하고, 성분을 쓰지 않고 이 공리들로부터 유도되는 것은 모두 어느 벡터공간에서나 성립한다. 다항식의 대수에 관한 수업의 다항식도 그 합과 실수배와 함께 또 하나의 벡터공간을 이룬다.

일차결합과 평행한 벡터

벡터 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 일차결합은 꼴 su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}의 벡터이다. 단, ss와 tt는 실수이다. 벡터 e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right)과 e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right)은 각 축의 방향으로 한 단위 나아가며, 모든 벡터를 이들의 일차결합으로 오직 한 가지 방식으로 나타낼 수 있게 해 준다. ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right)가 u⃗\vec{u}와 같은 것은 a=u1a = u_1이고 b=u2b = u_2일 때뿐이기 때문이다. 그래서 이들을 평면의 표준기저라 한다:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

영벡터가 아닌 두 벡터 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}는 한쪽이 다른 쪽의 실수배일 때, 즉 v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}가 어떤 실수 tt(이것은 영일 수 없다)에 대하여 성립할 때 평행하다고 한다. t>0t > 0이면 향이 같고 t<0t < 0이면 향이 반대이다. 이때 같은 시점에서 이 벡터들을 나타내는 화살표는 한 직선 위에 있다.

보조정리평행 판정법

영벡터가 아닌 두 벡터 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 평행할 필요충분조건은 u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0이다.

한쪽 방향은 계산이다. 다른 쪽 방향에서는 수 tt를 만들어야 하는데, v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}를 써서 u⃗\vec{u}의 영이 아닌 성분으로 나누어 만든다.

증명

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}이면 v⃗\vec{v}의 성분은 tu1t u_1과 tu2t u_2이고, 그 식은 영이 된다. 그림에서 u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right)와 v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}이다.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    역으로, 그 식이 영이 된다고 하고, 먼저 u1≠0u_1 \neq 0인 경우를 생각하자. tt를 첫째 성분의 몫으로 정의하면, v⃗\vec{v}의 첫째 성분은 tu1t u_1이다. 그림에서 t=62=3t = \frac{6}{2} = 3이다.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    가정에서 v2v_2에 대하여 풀면, 둘째 성분도 tu2t u_2이고, 따라서 v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}이다. 그림에서 3=3⋅13 = 3 \cdot 1이다.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    u1=0u_1 = 0이면 u2≠0u_2 \neq 0이다. u⃗\vec{u}는 영벡터가 아니기 때문이다. 가정에서 u2v1=0u_2 v_1 = 0가 나오고, 따라서 v1=0v_1 = 0이며, 둘째 성분의 몫으로 v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}가 된다. 그림에서 u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right)과 v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right)이고, 여기서 t=−32t = -\frac{3}{2}이다.

수 u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1은 연립일차방정식에 관한 수업의 행렬식이며, 다음 보조정리가 그 이유를 설명한다.

보조정리평행하지 않은 두 벡터의 일차결합

u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}가 영벡터가 아니고 평행하지 않은 벡터이면, 모든 w⃗\vec{w}는 이들의 일차결합으로 오직 한 가지 방식으로 나타난다. 즉 수 ss와 tt가 존재하고, 그러한 쌍은 하나뿐이며, w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}가 성립한다.

구하는 등식을 성분으로 쓰면 미지수 ss와 tt에 관한 두 일차방정식의 연립방정식이 되며, 여기에 크라메르 공식을 적용하면 충분하다.

증명

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    등식 su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w}을 성분별로 쓴다. 그림에서 u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right), w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right)이다.

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    벡터들이 평행하지 않으므로, 평행 판정법에 의해 연립방정식의 행렬식은 영이 아니다. 그림에서 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5이다.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    크라메르 공식에 의해 연립방정식은 정확히 하나의 해를 가지며, 그 해는 다음 몫으로 주어진다. 그림에서 s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1과 t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2이고, 실제로 w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}이다.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    특히 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 두 일차결합이 같으면, 둘 다 같은 w⃗\vec{w}에 대한 연립방정식의 해이므로 계수가 일치한다. 이 계수 비교가 이 수업의 여러 증명에서 쓰이는 도구이다.