포물선의 방정식: 정의와 성질

요약

이 수업은 포물선을 한 고정된 점(초점)과 한 고정된 직선(준선)에서 같은 거리에 있는 점의 집합으로 정의하고, 이 정의로부터 그 방정식을 이끌어 낸다. 그래프의 평행이동으로 꼭짓점이 임의의 점에 있는 포물선의 방정식을 얻고, 이차식의 그래프가 정확히 축이 연직인 포물선임을 보인다. 완전제곱식 만들기가 그 꼭짓점, 초점, 준선을 준다. 끝으로 포물선과 직선의 교점, 그리고 접선을 다룬다.

학습 목표

초점과 준선을 이용하여 포물선의 정의를 진술하고, 그로부터 방정식을 이끌어 낸다.
$x$ 를 $x - h$ 로, $y$ 를 $y - k$ 로 바꾸어 그래프를 평행이동한다.
이차식으로 주어진 포물선의 꼭짓점, 초점, 준선을 구한다.
포물선과 직선의 교점, 그리고 주어진 기울기를 갖는 접선을 구한다.

두 가지 예비 개념

두 점 사이의 거리

포물선의 정의는 거리에 바탕을 둔다. 직선의 방정식에 관한 수업에서 보았듯이, 평면 위의 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구한다:

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

점 $(x, y)$ 와 수평인 직선 $y = c$ 사이의 거리는 둘을 잇는 연직 선분의 길이, 즉 $y$ 와 $c$ 의 차를 양의 부호로 취한 값이다. 이 값을 그 차의 제곱의 제곱근으로 쓰는 것이 편리하며, 이 제곱근은 언제나 양수이거나 영이다:

\sqrt{(y - c)^2}

그래프의 평행이동

그래프의 변환 정리는 함수의 연산에 관한 수업에서 증명되었으며, $y = f(x - h) + k$ 의 그래프가 $y = f(x)$ 의 그래프를 오른쪽으로 $h$ 만큼, 위로 $k$ 만큼 평행이동한 것이라고 말한다. 그 증명은 곡선이 함수의 그래프라는 사실을 쓰지 않으므로, $x$ 와 $y$ 사이의 어떤 방정식에 대해서도 성립한다. 점 $(a, b)$ 가 원래 방정식을 만족하는 것은 점 $(a + h, b + k)$ 가, $x$ 를 $x - h$ 로, $y$ 를 $y - k$ 로 바꾸어 얻은 방정식을 만족하는 것과 정확히 같기 때문이다. 포물선의 방정식은 이렇게 평행이동될 것이다.

예시포물선의 평행이동

$y = x^2$ 의 그래프에서 출발하여, 그것을 오른쪽으로 단위 길이만큼, 위로 단위 길이만큼 평행이동한다.

증명

$y = x^2$
원래 그래프의 가장 낮은 점은 원점에 있다.
$y = (x - \resaltar{1})^2$
$x$ 를 $x - 1$ 로 바꾼다: 각 점이 오른쪽으로 단위 길이만큼 이동하고, 가장 낮은 점은 $(1, 0)$ 으로 옮겨 간다.
$y - \resaltar{1} = (x - 1)^2$
또 $y$ 를 $y - 1$ 로 바꾼다: 그래프가 단위 길이만큼 올라가고, 가장 낮은 점은 $(1, 1)$ 로 옮겨 간다.