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Topos Uranos
Français

L’équation de la parabole : définitions et propriétés

Résumé

Cette leçon définit la parabole comme l’ensemble des points équidistants d’un point fixe, le foyer, et d’une droite fixe, la directrice, et déduit de cette définition son équation. Grâce à la translation des courbes représentatives, elle obtient l’équation d’une parabole de sommet quelconque et montre que les courbes des trinômes du second degré sont exactement les paraboles d’axe vertical : compléter le carré donne leur sommet, leur foyer et leur directrice. Elle se termine par l’intersection des paraboles et des droites, et par les tangentes.

Objectifs d’apprentissage

  1. Énoncer la définition de la parabole au moyen du foyer et de la directrice, et en déduire son équation.
  2. Translater des courbes en remplaçant xx par x−hx - h et yy par y−ky - k.
  3. Déterminer le sommet, le foyer et la directrice d’une parabole donnée par un trinôme du second degré.
  4. Déterminer l’intersection d’une parabole et d’une droite, ainsi que les tangentes de pente donnée.

Deux idées préalables

La distance entre deux points

La définition de la parabole repose sur des distances. Comme on l’a vu dans la leçon sur l’équation de la droite, la distance entre deux points du plan s’obtient par le théorème de Pythagore :

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

La distance d’un point (x,y)(x, y) à une droite horizontale y=cy = c est la longueur du segment vertical qui les joint, c’est-à-dire la différence entre yy et cc prise avec le signe positif. Il convient de l’écrire comme la racine carrée du carré de cette différence, qui est toujours positive ou nulle :

(y−c)2\sqrt{(y - c)^2}

La translation des courbes

Le théorème des transformations d’une courbe, démontré dans la leçon sur les opérations sur les fonctions, établit que la courbe de y=f(x−h)+ky = f(x - h) + k est celle de y=f(x)y = f(x) décalée de hh unités vers la droite et de kk vers le haut. Sa démonstration n’utilise pas le fait que la courbe soit celle d’une fonction : elle vaut pour toute équation entre xx et yy, car le point (a,b)(a, b) vérifie l’équation initiale exactement lorsque le point (a+h,b+k)(a + h, b + k) vérifie celle qu’on obtient en remplaçant xx par x−hx - h et yy par y−ky - k. C’est ainsi que l’on translatera les équations des paraboles.

ExempleTranslater une parabole

Partir de la courbe de y=x2y = x^2 et la décaler d’une unité vers la droite et d’une unité vers le haut.

Démonstration

  1. y=x2y = x^2

    La courbe initiale a son point le plus bas à l’origine.

  2. y=(x−1)2y = (x - \resaltar{1})^2

    Nous remplaçons xx par x−1x - 1 : chaque point se déplace d’une unité vers la droite, et le point le plus bas vient en (1,0)(1, 0).

  3. y−1=(x−1)2y - \resaltar{1} = (x - 1)^2

    Nous remplaçons en outre yy par y−1y - 1 : la courbe monte d’une unité et le point le plus bas vient en (1,1)(1, 1).