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Topos Uranos
Français

Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite

Résumé

Cette leçon introduit les vecteurs du plan, qui représentent des déplacements, comme des couples de nombres réels, et définit leur somme, leur produit par un réel, leur norme et leur produit scalaire, avec leurs propriétés. Du produit scalaire se déduisent la condition d’orthogonalité, l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’inégalité triangulaire, le projeté orthogonal et la classification des angles en aigus, droits et obtus. Avec les vecteurs, la droite s’écrit sous forme vectorielle et paramétrique, on obtient son vecteur normal et la formule de la distance d’un point à une droite, on coupe des droites données par des paramètres, on partage des segments dans un rapport donné et on décrit le mouvement uniforme ; les problèmes appliquent ces outils à des démonstrations géométriques, à la réflexion sur un miroir et au rapprochement de deux mobiles.

Objectifs d’apprentissage

  1. Opérer sur les vecteurs du plan, par leurs coordonnées et géométriquement, et exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de deux autres.
  2. Calculer des normes et des produits scalaires, et s’en servir pour reconnaître des vecteurs orthogonaux, classer des angles et projeter un vecteur sur un autre.
  3. Écrire une droite sous forme vectorielle, paramétrique et cartésienne, passer d’une forme à l’autre, et calculer avec des vecteurs des intersections, des distances et des points qui partagent un segment.
  4. Démontrer des propriétés géométriques au moyen de vecteurs et modéliser le mouvement uniforme par des droites paramétrées.

Vecteurs du plan

Dans la leçon sur l’équation de la droite, chaque point du plan a été identifié au couple de ses coordonnées. Bien des grandeurs, cependant, ne se décrivent pas par un point mais par un déplacement : avancer de trois unités vers la droite et de deux vers le haut est la même instruction, quel que soit le point de départ. Il en va de même pour la vitesse ou pour la force, qui ont une intensité, une direction et un sens, et qu’étudie le cours Fondements de la mécanique. Un déplacement se dessine comme une flèche, et il est déterminé par deux nombres : l’avancée horizontale et l’avancée verticale. S’il en est ainsi, la définition naturelle est celle-ci.

Un vecteur du plan est un couple de nombres réels, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) ; les nombres u1u_1 et u2u_2 sont ses coordonnées. Le vecteur qui va du point P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) au point Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) est le couple des différences de leurs coordonnées, et il s’écrit PQ⃗\vec{PQ} ; la flèche d’origine PP et d’extrémité QQ le représente.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Un même vecteur a une infinité de représentants : deux flèches représentent le même vecteur lorsqu’elles produisent la même avancée horizontale et la même avancée verticale, c’est-à-dire lorsque l’une se déduit de l’autre par une translation. Parmi toutes, une seule part de l’origine OO, la flèche qui aboutit au point (u1,u2)(u_1, u_2). Il s’ensuit que OP⃗\vec{OP}, appelé vecteur position de PP, a pour coordonnées celles de PP. Dans la suite, P+u⃗P + \vec{u} désigne le point atteint à partir de PP par le déplacement u⃗\vec{u}, c’est-à-dire l’extrémité de la flèche qui représente u⃗\vec{u} avec pour origine PP. Le vecteur nul 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) correspond à ne pas bouger, et l’opposé de u⃗\vec{u} est −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), le déplacement contraire ; ainsi, QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

LemmeVecteurs égaux et parallélogrammes

Soient PP, QQ, RR et SS des points du plan. Les égalités PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} et PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} sont équivalentes, et toutes deux équivalent à ce que les segments PSPS et QRQR aient le même milieu. Si les quatre points ne sont pas alignés, PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} si et seulement si le quadrilatère de sommets PP, QQ, SS et RR, dans cet ordre, est un parallélogramme.

Les trois équivalences se ramènent à réordonner une égalité entre nombres, coordonnée par coordonnée ; la dernière s’appuie sur le théorème de l’intersection de deux droites de la leçon sur la droite. Nous appelons p1p_1, q1q_1, r1r_1 et s1s_1 les abscisses des quatre points.

Démonstration

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    L’égalité des premières coordonnées de PQ⃗\vec{PQ} et de RS⃗\vec{RS} équivaut, en ajoutant r1−q1r_1 - q_1 aux deux membres, à l’égalité des premières coordonnées de PR⃗\vec{PR} et de QS⃗\vec{QS}. Sur la figure, P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) et S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    La même égalité équivaut, en ajoutant p1p_1 et r1r_1 aux deux membres et en divisant par 22, à ce que les milieux de PSPS et de QRQR aient la même abscisse. Les ordonnées se traitent de même ; par conséquent, les trois affirmations sont équivalentes.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Supposons maintenant que les quatre points ne sont pas alignés et que PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. Les droites PQPQ et RSRS ont la même direction : la même pente, le quotient des coordonnées de ce vecteur, ou elles sont toutes deux verticales si sa première coordonnée est nulle. Elles sont distinctes, car si elles étaient confondues les quatre points seraient alignés ; par conséquent, elles sont parallèles : si elles ne sont pas verticales, par le théorème de l’intersection de deux droites non verticales, et si elles le sont, parce que deux droites verticales distinctes ne se coupent pas.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    Par la première équivalence, l’égalité PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} est aussi vraie, et le même argument montre que les côtés PRPR et QSQS sont parallèles. Les côtés opposés du quadrilatère PQSRPQSR sont parallèles deux à deux : c’est un parallélogramme.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Réciproquement, soit PQSRPQSR un parallélogramme et soit S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. Par ce qui précède, appliqué aux points PP, QQ, RR et S1S_1, le point S1S_1 est sur la parallèle à PQPQ menée par RR et sur la parallèle à PRPR menée par QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Ces deux parallèles ne sont pas parallèles entre elles, car PP, QQ et RR ne sont pas alignés, et elles se coupent en un unique point. Comme le sommet SS du parallélogramme est aussi sur les deux, il est confondu avec S1S_1.

ExempleLe vecteur qui va d’un point à un autre

Calculer le vecteur qui va de P=(1,1)P = (1, 1) à Q=(4,3)Q = (4, 3), le reporter au point R=(−2,2)R = (-2, 2) et à l’origine, et le comparer au vecteur qui va de QQ à PP.

Démonstration

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Nous retranchons les coordonnées de l’origine de la flèche de celles de son extrémité : le déplacement est de 33 unités vers la droite et de 22 vers le haut.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    Avec pour origine RR, le même déplacement mène au point SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    Par le lemme, PR⃗\vec{PR} et QS⃗\vec{QS} sont aussi égaux, et les points PP, QQ, SS et RR sont les sommets d’un parallélogramme.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    Avec pour origine OO, la flèche aboutit au point AA dont les coordonnées sont celles du vecteur : PQ⃗\vec{PQ} est le vecteur position de AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    La flèche qui va de QQ à PP parcourt le même segment en sens contraire : elle représente le vecteur opposé.

La somme de vecteurs et le produit par un réel

La somme des vecteurs u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) et v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) est u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), et le produit du nombre réel tt par u⃗\vec{u} est tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). La différence de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

La somme correspond à effectuer des déplacements l’un après l’autre : si l’on parcourt u⃗\vec{u} puis v⃗\vec{v}, l’avancée horizontale totale est u1+v1u_1 + v_1 et la verticale, u2+v2u_2 + v_2. En termes de points, pour trois points quelconques AA, BB et CC, la relation de Chasles est vérifiée, car les différences de coordonnées s’emboîtent : (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, et de même pour les ordonnées.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Il en découle deux constructions de la somme : la règle du triangle, qui place l’origine de v⃗\vec{v} à l’extrémité de u⃗\vec{u}, et la règle du parallélogramme, qui trace les deux vecteurs avec la même origine et prend la diagonale du parallélogramme qu’ils déterminent. En particulier, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} : tout vecteur entre deux points est la différence de leurs vecteurs position. Le produit tu⃗t \vec{u}, quant à lui, multiplie les deux avancées par tt : si t>0t > 0, il conserve la direction et le sens de u⃗\vec{u} ; si t<0t < 0, il conserve la direction et change le sens ; et, comme on le verra avec la norme, il multiplie la longueur par ∣t∣\abs{t}.

ExempleLa somme, la différence et la règle du parallélogramme

Soient u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) et v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Construire u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} par la règle du triangle et par celle du parallélogramme, et construire u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Démonstration

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Nous traçons les deux vecteurs avec pour origine OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Règle du triangle : avec pour origine l’extrémité de u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} mène au point (5,4)(5, 4) ; la somme se calcule coordonnée par coordonnée.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Règle du parallélogramme : en parcourant d’abord v⃗\vec{v} puis u⃗\vec{u}, nous arrivons au même point. La somme est la diagonale du parallélogramme de côtés u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} qui part de OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    L’opposé de v⃗\vec{v} est son produit par −1-1 : il a la même longueur et le sens contraire.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    La différence est la somme de u⃗\vec{u} et −v⃗-\vec{v}. Reportée, c’est la flèche qui va de l’extrémité de v⃗\vec{v} à l’extrémité de u⃗\vec{u} : l’autre diagonale du parallélogramme.

Les deux opérations héritent des nombres réels les propriétés énumérées ci-dessous, valables pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} et tous réels ss et tt :

  1. Commutativité de la somme : u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Associativité de la somme : (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Élément neutre : u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Élément opposé : u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Associativité du produit : s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Neutralité du réel un : 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Distributivité par rapport à la somme de vecteurs : t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Distributivité par rapport à la somme de nombres : (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
ThéorèmePropriétés des opérations sur les vecteurs

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} du plan et tous réels ss et tt, les huit propriétés de la liste précédente sont vérifiées.

Les deux opérations agissent coordonnée par coordonnée, de sorte que chaque propriété se ramène à la propriété correspondante des nombres réels, appliquée à chaque coordonnée. Il suffit d’écrire la première coordonnée, car la seconde est identique avec l’indice 22.

Démonstration

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Commutativité et associativité : elles sont héritées de celles de l’addition des nombres réels.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Neutre et opposé : 00 est neutre pour l’addition et −u1-u_1 est l’opposé de u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Associativité du produit et neutralité du réel un : le produit des réels est associatif et admet 11 pour élément neutre.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    Les deux distributivités : le produit des réels est distributif par rapport à l’addition.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs deux coordonnées le sont ; par conséquent, les huit égalités valent entre vecteurs. Par exemple, la première.

Ces huit propriétés sont les axiomes d’espace vectoriel : tout ensemble dont les éléments s’additionnent entre eux et se multiplient par des réels en respectant ces huit règles s’appelle un espace vectoriel, et tout ce qui s’en déduit sans utiliser de coordonnées vaudra dans n’importe lequel d’entre eux. Les polynômes de la leçon sur l’algèbre des polynômes, avec leur somme et leur produit par un réel, forment un autre espace vectoriel.

Combinaisons linéaires et vecteurs colinéaires

Une combinaison linéaire des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est un vecteur de la forme su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}, avec ss et tt réels. Les vecteurs e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) et e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), qui avancent d’une longueur égale à un dans la direction de chaque axe, permettent d’écrire tout vecteur comme combinaison d’eux, et d’une seule manière, car ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) n’est égal à u⃗\vec{u} que si a=u1a = u_1 et b=u2b = u_2. C’est pourquoi on les appelle la base canonique du plan :

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires lorsque l’un est multiple de l’autre, c’est-à-dire lorsque v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} pour un certain réel tt, qui ne peut pas être nul ; ils ont le même sens si t>0t > 0 et des sens contraires si t<0t < 0. Les flèches qui les représentent avec une même origine sont alors sur une même droite.

LemmeCritère de colinéarité

Deux vecteurs non nuls u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Une implication est un calcul ; pour l’autre, il faut fabriquer le nombre tt tel que v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, en divisant par une coordonnée non nulle de u⃗\vec{u}.

Démonstration

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Si v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, les coordonnées de v⃗\vec{v} sont tu1t u_1 et tu2t u_2, et l’expression s’annule. Sur la figure, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) et v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Réciproquement, supposons que l’expression s’annule, et supposons d’abord u1≠0u_1 \neq 0. Nous définissons tt comme le quotient des premières coordonnées, de sorte que la première coordonnée de v⃗\vec{v} est tu1t u_1. Sur la figure, t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Nous exprimons v2v_2 à partir de l’hypothèse : la seconde coordonnée est aussi tu2t u_2, et donc v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Sur la figure, 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Si u1=0u_1 = 0, alors u2≠0u_2 \neq 0, car u⃗\vec{u} n’est pas nul ; l’hypothèse donne u2v1=0u_2 v_1 = 0, d’où v1=0v_1 = 0, et le quotient des secondes coordonnées donne v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Sur la figure, u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) et v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), avec t=−32t = -\frac{3}{2}.

Le nombre u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 est le déterminant de la leçon sur les systèmes linéaires, et le lemme ci-dessous en explique la raison.

LemmeCombinaisons de deux vecteurs non colinéaires

Si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont des vecteurs non nuls et non colinéaires, tout w⃗\vec{w} est combinaison linéaire de ces deux vecteurs d’une seule manière : il existe des nombres ss et tt, et un seul couple, tels que w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

L’égalité cherchée, écrite par coordonnées, est un système de deux équations linéaires d’inconnues ss et tt, et il suffit de lui appliquer la règle de Cramer.

Démonstration

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Nous écrivons l’égalité su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} coordonnée par coordonnée. Sur la figure, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) et w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    Le déterminant du système n’est pas nul, d’après le critère de colinéarité, car les vecteurs ne sont pas colinéaires. Sur la figure, 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    D’après la règle de Cramer, le système a exactement une solution, donnée par les quotients ci-dessous. Sur la figure, s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 et t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, et en effet w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    En particulier, si deux combinaisons de u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont égales, toutes deux sont la solution du système avec le même w⃗\vec{w}, et leurs coefficients coïncident. Cette identification des coefficients est l’outil de plusieurs démonstrations de la leçon.