Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Векторы на плоскости и параметрические уравнения прямой

Краткое содержание

В этом уроке векторы плоскости, которые изображают перемещения, вводятся как упорядоченные пары действительных чисел, и определяются их сумма, умножение вектора на число, длина и скалярное произведение вместе с их свойствами. Из скалярного произведения выводятся условие перпендикулярности, неравенство Коши-Шварца, неравенство треугольника, ортогональная проекция и классификация углов на острые, прямые и тупые. С помощью векторов прямая записывается в векторной и параметрической форме, находятся её вектор нормали и формула расстояния от точки до прямой, ищется пересечение прямых, заданных параметрически, отрезки делятся в данном отношении и описывается равномерное движение; задачи применяют эти инструменты к геометрическим доказательствам, к отражению в зеркале и к сближению двух движущихся тел.

Цели обучения

  1. Выполнять действия с векторами плоскости, в координатах и геометрически, и выражать вектор в виде линейной комбинации двух других.
  2. Вычислять длины и скалярные произведения и применять их, чтобы распознавать перпендикулярные векторы, классифицировать углы и проецировать один вектор на другой.
  3. Записывать прямую в векторной, параметрической и общей форме, переходить от одной формы к другой и вычислять с помощью векторов точки пересечения, расстояния и точки, делящие отрезок.
  4. Доказывать геометрические свойства с помощью векторов и моделировать равномерное движение параметрически заданными прямыми.

Векторы на плоскости

В уроке об уравнении прямой каждая точка плоскости отождествлялась с парой своих координат. Многие величины, однако, описываются не точкой, а перемещением: сдвинуться на три единицы вправо и на две вверх означает одно и то же указание, какой бы ни была исходная точка. Так же обстоит дело со скоростью или силой, у которых есть величина, направление и ориентация и которые изучаются в курсе «Основы механики». Перемещение изображается стрелкой и определяется двумя числами: сдвигом по горизонтали и сдвигом по вертикали. Если это так, естественное определение таково.

Вектор плоскости есть упорядоченная пара действительных чисел, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right); числа u1u_1 и u2u_2 называются его координатами. Вектор, идущий от точки P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) к точке Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2), есть пара разностей их координат, и он обозначается PQ⃗\vec{PQ}; стрелка с началом PP и концом QQ его изображает.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Один и тот же вектор имеет бесконечно много изображений: две стрелки изображают один и тот же вектор, когда они дают одинаковый сдвиг по горизонтали и одинаковый сдвиг по вертикали, то есть когда одна получается из другой параллельным переносом. Среди них есть ровно одна, выходящая из начала координат OO, а именно стрелка, оканчивающаяся в точке (u1,u2)(u_1, u_2). Отсюда следует, что OP⃗\vec{OP}, называемый радиус-вектором точки PP, имеет координатами координаты точки PP. В дальнейшем мы пишем P+u⃗P + \vec{u} для точки, в которую приходим из PP перемещением u⃗\vec{u}, то есть для конца стрелки, изображающей u⃗\vec{u} с началом в PP. Нулевой вектор 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) соответствует отсутствию движения, а противоположный к u⃗\vec{u} вектор есть −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), обратное перемещение; так, QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

ЛеммаРавные векторы и параллелограммы

Пусть PP, QQ, RR и SS точки плоскости. Равенства PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} и PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} равносильны, и оба равносильны тому, что отрезки PSPS и QRQR имеют общую середину. Если четыре точки не лежат на одной прямой, то PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} тогда и только тогда, когда четырёхугольник с вершинами PP, QQ, SS и RR, взятыми в этом порядке, является параллелограммом.

Все три равносильности сводятся к перестановке членов в равенстве между числами, координата за координатой; последняя опирается на теорему о пересечении двух прямых из урока о прямой. Обозначим через p1p_1, q1q_1, r1r_1 и s1s_1 абсциссы четырёх точек.

Доказательство

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    Равенство первых координат векторов PQ⃗\vec{PQ} и RS⃗\vec{RS} равносильно, после прибавления r1−q1r_1 - q_1 к обеим частям, равенству первых координат векторов PR⃗\vec{PR} и QS⃗\vec{QS}. На рисунке P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) и S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    То же равенство равносильно, после прибавления p1p_1 и r1r_1 к обеим частям и деления на 22, тому, что середины отрезков PSPS и QRQR имеют одну и ту же абсциссу. С ординатами рассуждение такое же; следовательно, три утверждения равносильны.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Предположим теперь, что четыре точки не лежат на одной прямой и что PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. Прямые PQPQ и RSRS имеют одно и то же направление: один и тот же угловой коэффициент, равный отношению координат этого вектора, или обе вертикальны, если его первая координата равна нулю. Они различны, потому что при совпадении четыре точки лежали бы на одной прямой; следовательно, они параллельны: если они не вертикальны, то по теореме о пересечении двух невертикальных прямых, а если вертикальны, то потому, что две различные вертикальные прямые не пересекаются.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    По первому утверждению также PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}, и то же рассуждение показывает, что стороны PRPR и QSQS параллельны. Противоположные стороны четырёхугольника PQSRPQSR попарно параллельны: это параллелограмм.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Обратно, пусть PQSRPQSR параллелограмм и пусть S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. По уже доказанному, применённому к точкам PP, QQ, RR и S1S_1, точка S1S_1 лежит на прямой, параллельной PQPQ и проведённой через RR, и на прямой, параллельной PRPR и проведённой через QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Эти две прямые не параллельны друг другу, потому что PP, QQ и RR не лежат на одной прямой, и пересекаются в единственной точке. Так как вершина SS параллелограмма тоже лежит на обеих, она совпадает с S1S_1.

ПримерВектор, идущий от одной точки к другой

Найти вектор, идущий от P=(1,1)P = (1, 1) к Q=(4,3)Q = (4, 3), отложить его от точки R=(−2,2)R = (-2, 2) и от начала координат и сравнить с вектором, идущим от QQ к PP.

Доказательство

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Вычитаем координаты начала стрелки из координат её конца: перемещение составляет 33 единицы вправо и 22 вверх.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    С началом в RR то же перемещение приводит в точку SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    По лемме равны также PR⃗\vec{PR} и QS⃗\vec{QS}, а точки PP, QQ, SS и RR являются вершинами параллелограмма.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    С началом в OO стрелка оканчивается в точке AA, координаты которой совпадают с координатами вектора: PQ⃗\vec{PQ} есть радиус-вектор точки AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    Стрелка, идущая от QQ к PP, проходит тот же отрезок в обратном направлении: она изображает противоположный вектор.

Сумма векторов и умножение вектора на число

Суммой векторов u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) и v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) называется u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), а произведением действительного числа tt на u⃗\vec{u} называется tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). Разностью u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} называется u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

Сумма соответствует последовательному выполнению перемещений: если пройти u⃗\vec{u}, а затем v⃗\vec{v}, то полный сдвиг по горизонтали равен u1+v1u_1 + v_1, а по вертикали u2+v2u_2 + v_2. На языке точек для любых трёх точек AA, BB и CC выполняется соотношение Шаля, потому что разности координат складываются последовательно: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, и так же с ординатами.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Отсюда следуют два построения суммы: правило треугольника, при котором начало v⃗\vec{v} помещается в конец u⃗\vec{u}, и правило параллелограмма, при котором оба вектора откладываются от общего начала и берётся диагональ параллелограмма, которую они определяют. В частности, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: всякий вектор между двумя точками есть разность их радиус-векторов. Произведение tu⃗t \vec{u}, в свою очередь, умножает оба сдвига на tt: если t>0t > 0, оно сохраняет направление и ориентацию u⃗\vec{u}; если t<0t < 0, оно сохраняет направление и меняет ориентацию на противоположную; и, как будет видно с длиной, оно умножает длину на ∣t∣\abs{t}.

ПримерСумма, разность и правило параллелограмма

Пусть u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) и v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Построить u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} по правилу треугольника и по правилу параллелограмма и построить u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Доказательство

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Откладываем оба вектора от точки OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Правило треугольника: с началом в конце u⃗\vec{u} вектор v⃗\vec{v} приводит в точку (5,4)(5, 4); сумма вычисляется покоординатно.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Правило параллелограмма: если пройти сначала v⃗\vec{v}, а потом u⃗\vec{u}, приходим в ту же точку. Сумма есть диагональ параллелограмма со сторонами u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, выходящая из OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    Противоположный к v⃗\vec{v} вектор есть его произведение на −1-1: у него та же длина и обратная ориентация.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    Разность есть сумма u⃗\vec{u} и −v⃗-\vec{v}. После переноса это стрелка, идущая от конца v⃗\vec{v} к концу u⃗\vec{u}: другая диагональ параллелограмма.

Обе операции наследуют от действительных чисел перечисленные ниже свойства, справедливые для всех векторов u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} и w⃗\vec{w} и всех действительных чисел ss и tt:

  1. Коммутативность сложения: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Ассоциативность сложения: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Нейтральный элемент: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Противоположный элемент: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Ассоциативность умножения: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Единица: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Дистрибутивность относительно сложения векторов: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Дистрибутивность относительно сложения чисел: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
ТеоремаСвойства операций над векторами

Для всех векторов u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} и w⃗\vec{w} плоскости и всех действительных чисел ss и tt выполняются восемь свойств из приведённого выше списка.

Обе операции действуют покоординатно, так что каждое свойство сводится к соответствующему свойству действительных чисел, применённому в каждой координате. Достаточно записать первую координату, потому что вторая получается так же с индексом 22.

Доказательство

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Коммутативность и ассоциативность: наследуются от свойств сложения действительных чисел.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Нейтральный и противоположный элементы: 00 нейтрален относительно сложения, а −u1-u_1 противоположно числу u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Ассоциативность умножения и единица: умножение действительных чисел ассоциативно и имеет нейтральный элемент 11.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    Обе дистрибутивности: умножение действительных чисел дистрибутивно относительно сложения.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны обе их координаты; следовательно, восемь равенств выполняются для векторов. Например, первое.

Эти восемь свойств составляют аксиомы векторного пространства: всякое множество, элементы которого складываются между собой и умножаются на действительные числа с соблюдением этих восьми правил, называется векторным пространством, и всё, что выводится из них без использования координат, будет верно в любом таком пространстве. Многочлены из урока об алгебре многочленов со своим сложением и умножением на число образуют ещё одно векторное пространство.

Линейные комбинации и коллинеарные векторы

Линейной комбинацией векторов u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} называется вектор вида su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}, где ss и tt действительные числа. Векторы e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) и e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), сдвигающие на одну единицу в направлении каждой оси, позволяют записать всякий вектор в виде их комбинации, причём единственным образом, потому что ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) равно u⃗\vec{u} лишь при a=u1a = u_1 и b=u2b = u_2. Поэтому они называются стандартным базисом плоскости:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Два ненулевых вектора u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} называются коллинеарными, когда один кратен другому, то есть когда v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} при некотором действительном tt, которое не может быть нулём; они сонаправлены, если t>0t > 0, и противоположно направлены, если t<0t < 0. Стрелки, изображающие их с общим началом, лежат тогда на одной прямой.

ЛеммаПризнак коллинеарности

Два ненулевых вектора u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} коллинеарны тогда и только тогда, когда u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Одна импликация есть вычисление; для другой нужно построить число tt с v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, деля на ненулевую координату вектора u⃗\vec{u}.

Доказательство

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Если v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, то координаты v⃗\vec{v} равны tu1t u_1 и tu2t u_2, и выражение обращается в нуль. На рисунке u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) и v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Обратно, предположим, что выражение обращается в нуль, и предположим сначала u1≠0u_1 \neq 0. Определим tt как отношение первых координат, так что первая координата v⃗\vec{v} равна tu1t u_1. На рисунке t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Выразим v2v_2 из условия: вторая координата тоже равна tu2t u_2, и, следовательно, v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. На рисунке 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Если u1=0u_1 = 0, то u2≠0u_2 \neq 0, потому что u⃗\vec{u} не нулевой; условие даёт u2v1=0u_2 v_1 = 0, откуда v1=0v_1 = 0, и отношение вторых координат даёт v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. На рисунке u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) и v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), при t=−32t = -\frac{3}{2}.

Число u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 есть определитель из урока о линейных системах, и приведённая ниже лемма объясняет причину.

ЛеммаКомбинации двух неколлинеарных векторов

Если u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} ненулевые и неколлинеарные векторы, то всякий w⃗\vec{w} есть их линейная комбинация, причём единственным образом: существуют числа ss и tt, и только одна такая пара, что w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

Искомое равенство, записанное в координатах, есть система двух линейных уравнений с неизвестными ss и tt, и к ней достаточно применить правило Крамера.

Доказательство

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Записываем равенство su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} покоординатно. На рисунке u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) и w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    Определитель системы не равен нулю по признаку коллинеарности, потому что векторы не коллинеарны. На рисунке 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    По правилу Крамера система имеет ровно одно решение, которое даётся приведёнными ниже отношениями. На рисунке s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 и t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, и действительно w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    В частности, если две комбинации векторов u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} равны, то обе являются решением системы с одним и тем же w⃗\vec{w}, и их коэффициенты совпадают. Это сравнение коэффициентов служит инструментом нескольких доказательств урока.