Aeqvatio parabolae: definitiones et proprietates

Svmmarivm

Haec lectio parabolam definit vt copiam pvnctorvm qvae aeqve distant a pvncto fixo, foco, et a recta fixa, directrice, et ex ea definitione aeqvationem eivs dedvcit. Translatione delineationvm aeqvationem parabolae obtinet cvivs vertex in qvolibet pvncto est, et ostendit delineationes polynomiorvm qvadraticorvm esse ipsas parabolas axe verticali: qvadratvm complere earvm verticem, focvm et directricem praebet. Finit cvm intersectione parabolarvm et rectarvm, et cvm rectis tangentibvs.

Proposita discendi

Definitionem parabolae per focvm et directricem envntiare, et ex ea aeqvationem eivs dedvcere.
Delineationes transferre pro $x$ ponendo $x - h$ et pro $y$ ponendo $y - k$ .
Verticem, focvm et directricem parabolae per polynomivm qvadraticvm datae invenire.
Intersectionem parabolae cvm recta et rectas tangentes declivitatis datae determinare.

Dvae notiones praeviae

Distantia inter dvo pvncta

Definitio parabolae distantiis nititvr. Vt in lectione de aeqvatione rectae visvm est, distantia inter dvo pvncta plani theoremate Pythagorae obtinetvr:

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Distantia pvncti $(x, y)$ a recta horizontali $y = c$ est longitvdo segmenti verticalis qvod ea ivngit, id est differentia inter $y$ et $c$ cvm signo positivo svmpta. Expedit eam scribere vt radicem qvadrati eivs differentiae, qvae semper positiva avt nvlla est:

\sqrt{(y - c)^2}

Translatio delineationvm

Theorema de transformationibvs delineationis, in lectione de operationibvs fvnctionvm demonstratvm, statvit delineationem ipsivs $y = f(x - h) + k$ esse eam ipsivs $y = f(x)$ translatam $h$ vnitatibvs dextrorsvm et $k$ svrsvm. Eivs demonstratio non adhibet cvrvam esse delineationem fvnctionis: valet pro qvalibet aeqvatione inter $x$ et $y$ , qvia pvnctvm $(a, b)$ aeqvationi originali satisfacit si et solvm si pvnctvm $(a + h, b + k)$ satisfacit ei qvae oritvr pro $x$ ponendo $x - h$ et pro $y$ ponendo $y - k$ . Sic aeqvationes parabolarvm transferentvr.

ExemplvmParabolam transferre

A delineatione ipsivs $y = x^2$ proficisci eamqve vna vnitate dextrorsvm et vna svrsvm transferre.

Demonstratio

$y = x^2$
Delineatio originalis pvnctvm infimvm in origine habet.
$y = (x - \resaltar{1})^2$
Pro $x$ ponimvs $x - 1$ : qvodqve pvnctvm vna vnitate dextrorsvm movetvr, et pvnctvm infimvm in $(1, 0)$ transit.
$y - \resaltar{1} = (x - 1)^2$
Pro $y$ praeterea ponimvs $y - 1$ : delineatio vna vnitate ascendit et pvnctvm infimvm in $(1, 1)$ transit.