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Topos Uranos
Français

Caractérisation et tracé des paraboles

Résumé

Caractériser une parabole, c’est réunir, à partir de son équation, les données qui suffisent pour la tracer : le sens dans lequel elle est tournée, le sommet, l’axe de symétrie, le foyer, la directrice et les points d’intersection avec les axes de coordonnées. Cette leçon montre comment on obtient ces données à partir de la forme sommet et de la forme développée, établit les formules générales du sommet, du foyer et de la directrice en fonction des coefficients, relie les points d’intersection avec l’axe des xx au discriminant et tire parti de la symétrie de la courbe pour abréger les calculs. Elle se termine par une marche à suivre ordonnée pour tracer l’allure de la courbe.

Objectifs d’apprentissage

  1. Obtenir le sommet, le foyer, la directrice et l’axe d’une parabole donnée sous forme sommet ou sous forme développée.
  2. Établir, en complétant le carré, les formules générales des éléments de la parabole y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.
  3. Déterminer les points d’intersection avec les axes et décider, à l’aide du discriminant, si la parabole coupe l’axe des xx.
  4. Utiliser la symétrie par rapport à l’axe pour trouver le sommet et tracer l’allure de la courbe avec les informations obtenues.

Les deux formes de l’équation

Dans la leçon sur l’équation des paraboles, on a vu que la parabole d’axe vertical de sommet (h,k)(h, k), de foyer (h,k+f)(h, k + f) et de directrice y=k−fy = k - f, avec f≠0f \neq 0, vérifie l’équation que l’on appellera ici forme sommet ; la valeur absolue de ff est la distance focale, et son signe indique de quel côté la courbe est tournée :

(x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k)

On a aussi démontré, dans le théorème sur les courbes des trinômes du second degré, qu’en exprimant yy cette équation devient un trinôme du second degré et que, réciproquement, la courbe de tout trinôme du second degré est une parabole d’axe vertical. On appellera forme développée l’équation

y=ax2+bx+c,a≠0y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Les deux décrivent la même courbe, mais ne montrent pas la même information : la forme sommet fait apparaître la géométrie (sommet, foyer, directrice), tandis que la forme développée fait apparaître le point d’intersection avec l’axe des yy, qui est (0,c)(0, c), et permet de calculer les points d’intersection avec l’axe des xx en résolvant une équation du second degré. Caractériser une parabole consiste à réunir les données ci-dessous, avec lesquelles on trace l’allure de sa courbe :

  1. Le sens d’ouverture : vers le haut ou vers le bas.
  2. Le sommet et l’axe de symétrie.
  3. Le foyer et la directrice.
  4. Les points d’intersection avec l’axe des xx, s’ils existent, et le point d’intersection avec l’axe des yy.