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Topos Uranos
Deutsch

Charakterisierung von Parabeln und ihre Graphen

Zusammenfassung

Eine Parabel zu charakterisieren heißt, aus ihrer Gleichung die Angaben zusammenzutragen, die genügen, um sie zu zeichnen: die Richtung, in die sie geöffnet ist, den Scheitel, die Symmetrieachse, den Brennpunkt, die Leitlinie und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Diese Lektion zeigt, wie man diese Angaben aus der Scheitelpunktform und aus der Polynomform gewinnt, leitet die allgemeinen Formeln für Scheitel, Brennpunkt und Leitlinie in Abhängigkeit von den Koeffizienten her, bringt die Schnittpunkte mit der xx-Achse mit der Diskriminante in Verbindung und nutzt die Symmetrie der Kurve, um die Rechnungen abzukürzen. Sie schließt mit einem geordneten Vorgehen zum Skizzieren des Graphen.

Lernziele

  1. Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie und Achse einer Parabel bestimmen, die in Scheitelpunktform oder in Polynomform gegeben ist.
  2. Durch quadratische Ergänzung die allgemeinen Formeln für die Bestimmungsstücke der Parabel y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c herleiten.
  3. Die Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen und mithilfe der Diskriminante entscheiden, ob die Parabel die xx-Achse schneidet.
  4. Die Symmetrie zur Achse nutzen, um den Scheitel zu finden, und den Graphen mit den gewonnenen Informationen skizzieren.

Die beiden Formen der Gleichung

In der Lektion über die Gleichung der Parabeln wurde gezeigt, dass die Parabel mit vertikaler Achse, Scheitel (h,k)(h, k), Brennpunkt (h,k+f)(h, k + f) und Leitlinie y=k−fy = k - f, wobei f≠0f \neq 0, die Gleichung erfüllt, die wir hier Scheitelpunktform nennen; der Betrag von ff ist die Brennweite, und am Vorzeichen erkennt man, wohin die Kurve geöffnet ist:

(x−h)2=4f(y−k)(x - h)^2 = 4f(y - k)

Ebenso wurde im Satz über die Graphen der quadratischen Polynome bewiesen, dass diese Gleichung, nach yy aufgelöst, zu einem quadratischen Polynom wird und dass umgekehrt der Graph jedes quadratischen Polynoms eine Parabel mit vertikaler Achse ist. Polynomform nennen wir die Gleichung

y=ax2+bx+c,a≠0y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Beide beschreiben dieselbe Kurve, zeigen aber nicht dieselbe Information: Die Scheitelpunktform lässt die Geometrie erkennen (Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie), die Polynomform dagegen den Schnittpunkt mit der yy-Achse, nämlich (0,c)(0, c), und sie erlaubt, die Schnittpunkte mit der xx-Achse durch Lösen einer quadratischen Gleichung zu berechnen. Eine Parabel zu charakterisieren heißt, die folgenden Angaben zusammenzutragen, mit denen man ihren Graphen skizziert:

  1. Die Öffnungsrichtung: nach oben oder nach unten.
  2. Der Scheitel und die Symmetrieachse.
  3. Der Brennpunkt und die Leitlinie.
  4. Die Schnittpunkte mit der xx-Achse, falls es sie gibt, und der Schnittpunkt mit der yy-Achse.